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1、第 18 讲圆与相似 模型讲解 【例题讲解】 例题 1 如图，AB为O O 的直径， C 为O O 上一点，弦AD 平分 / BAC ，交 BC 于点 E, AB= 6, AD = 5, 则 AE 的长. ?/ AB 为O O 的直径， ?/ ADB = 90 ? BD = AB 2- AD2 = 6 2- 52 = 11 , ?弦AD 平分/ BAC , CD = BD = 11 , A E B C 色 ABEs 匕 DCE 二 ABEs ADC A B 【解析】如图，连接BD、CD , ?/ CBD = Z DAB , 在厶 ABD 和厶 BED 中, / BAD = Z EBD / AD
2、B = Z BDE ? ABD BED , 解得 DE = 11 例题 2 如图，在 ABC 中，以 AC 边为直径的O O 交 BC 于点 D，过点 B 作 BG 丄 AC 交O O 于点 E、H，连 AD、ED、EC. 若 BD = 8, DC = 6，求 CE 的长. ?/ ADC = 90 , ?/ BG 丄 AC, ?/ BGC = Z ADC = 90, ?/ BCD = Z ACD, ? ADC BGC , DC = AC CG BC ?- CG ? AC= DC ?BC = 6X 14= 84, 连接 AE, ?/ AC 为O O 的直径， :丄 AEC = 90, ?/ AE
3、C = Z EGC = 90, ?/ ACE = Z ECG , ? CEG CAE , ?CG = CE CE AC DE DB ? AE = AD DE = 5- 1 1 5 14 5 DB AD 【解析】 ? AC 为O O 的直径， ? CE2= CG ? AC= 84, ? CE = 2 21 . 【巩固练习】 1. 如图，已知 D D为等腰三角形ABC 的底边 BC 上的任意一点， AD 的延长线交 ABC 的外接圆于点E, 连接 BE、 CE, 则图中相似三角形共有（） A. 8 对B . 6 对C. 4 对D . 2 对 2. 如图， AB 为O O 的直径， C 是O O 上
4、一点，连接AC, 过点 C 作直线 CD 丄 AB 交 AB 于点 D, E 是 0B 上一点，直线CE 与O 0 交于点 F, 连接 AF 交直线 CD 于点 G. 若 AC = 2 2，贝U AG ? AF = _ . C 3、如图，已知半圆的直径AB= 10, 点 C 在半圆上， CB= 6, 0 为 AB 的中点， 0D 丄 AB 交 AC 于点 D，则 0D = 4. 如图，O 0 是厶 ABC 的外接圆， BC 是O 0 的直径， D 是劣弧AC的中点， BD 交 AC 于点 E, 若 BC=-, 2 CD = -，贝 V DE = 2 5、如图，已知 ABC 内接于O 0，且 A
5、B = AC,直径 AD 交 BC 于点 E, F 是 OE 的中点，如果BD / CF, BC =2 5，贝 V CD = AD 是圆内接厶 ABC 的高， AE 是 OO 的直径， AB = 6 , AC= ?. 3，贝 U AE ? AD = ABC 是O 0 的内接三角形，AB= AC, BD 平分 / ABC 交O 0 于 点 D, 连接 AD、CD?作 AE 丄 BD 9、如图： M、N 分别为直角坐标系x、y 正半轴上两点，过M、N 和原点 0 三点的圆和直线y= x 交于点 P, (1)试判断 PMN 的形状； (2)连接 MN，设直线 y= x 交 MN 于点 G, 若 PG
6、 PN = 3: 4,A PGN 的周长为 6, 求厶 PON 的周长 . 6、如图 , 于占 J 八、 ( 第 5 题) 已知 O 0 的半径为 M， 贝 U sin / CBD 的值等于 4, AB= 6, （第 7 题）( 第 6 题) 锐角 ABC 内接于O 0, BD 丄 AC 于点 D, OE 丄 AB 8、如图， 于点 E, 若 AE = 3, DE= 1, 则厶 ACD 的面积是 7、如图 , C 10、如图， PB 为O 00 的切线， B 为切点，直线P0 交O 0 于点 E, F, 过点 B 作 P0 的垂线 BA, 垂足为点D, 交O 0 于 点 A, 延长 A0 与O
7、 0 交于点 C,连接 BC、AF。 (1)求证：直线PA 为O 0 的切线； (2)试探究线段EF、0D 0P 之间的数量关系，并加以证明； 1 (3)若 BC = 6, tan / F=丄，求 cos / ACB 的值和线段PE 的长 . 2 11、如图 1, AB 为半圆 O 的直径， D 为 BA 的延长线上一点，DC 为半圆 0 的切线，切点为C. (1)求证： / ACD=Z B; (2)如图 2，/ BDC 的平分线分别交AC, BC 于点 E, F; y 求 tan / CFE 的值； 若 AC= 3, BC= 4, 求 CE 的长. 12、如图， AB 是O O 的直径，弦C
8、D 丄 AB 于 H, 过 CD 延长线上一点E 作O O 的切线交AB 的延长线于F, 切点为 G, 连接 AG 交 CD 于 K. (1)求证： KE= GE; (2)若 KG 2 = KDGE , 试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； (3)在( 2) 的条件下，若sinE= , AK = 2 ?. 5，求 FG 的长. 5 解得 DE = 5 . 4 5.答案： 6 6.答案：、7. 7.答案： 3 2. 3 8.答案： 10 . 2 9.答案： (1) 解： PMN 是等腰直角三角形，理由：T y= x, ? / PON=Z FOM= 45 ?PN=PM. ?四边形ONP
9、M 内接于圆， ? / MON+Z NPM = 180 ?/ MON = 90 ? Z NPM= 90 即APM ”是等腰直角三角形。 1?答 案: B. 2?答 案: 8. 3?答 案: 15 4 4.答案 : 中 5 4 【解析】由D是劣弧AC的中点，得 AD DC ABD DAC , 又 ? ADB = Z EDA, ? ABDEAD , ? AD DB DEAD 由 D 是劣弧AC的中点，得AD = DC, 贝 y DC2 = DE ? DB , ?/ CB 是直径， ? BCD 是直角三角形 . ? BD = BC 2 CD2 = （；） 2 （；） 2 = 5 由 DC2= DE
10、? DB 得, （25） 2 5 DE , 参考答案 ? AD2= DE ? DB; 7 ( 2) PMN 是等腰直角三角形， ?/ PMN=Z PNM ?/ OPN=Z OPN,A PNGAPON. PNG 的周长： APON 的周长 =PG:PN = 3: 4. ? PNG 的周长 =6,A APON 的周长 =8. 10. 答案：(1) 如图所示，连接0B, 因为 PB 是O O 切线，所以 / PBO = 90因为0A = 0B, BA 丄 PO 于 D, 所以 AD= BD,Z P0A=Z P0B, 所以在厶卩“和 PBO 中， OA= OB,/ P0A=Z P0B , PO= PO
11、, PAOPBO ( SAS ), 所以/ PAO= / PBO = 90所以OA 丄 PA,直线 PA 为O O 切线。 (2)EF = 4ODOP 。因为 / PAO= / PDA = 90 , 所以 / OPA+Z AOP = 90 , 且 / OAD+Z AOD= 90 , 则 / OAD =/ OPA, 因为Z AOD=Z POA, 所以 OAD OPA, 所以, 即 OA?= OD OP, 又因为EF= OA OP 2OA , 所以 EF = 4ODOP. 1 (3)因为 OA= OC AD = BD , BC= 6, 由三角形 中位线定理可知，0D= BC= 3, 设 AD =
12、x, 因为 tan / F 2 1 I Q Q = , 所以 FD= 2x , 0A= OF= 2x 3, 在 RtMOD 中，由勾股定理得( 2x- 3) = x + 3, 解得 X1 = 4 或 X2 2 =0 (舍去 ) ，所以AD= 4 , OA= 2x 3 = 5 , 因为AC 是O O 直径，所以Z ABC= 90 又因为 AC= 2OA= 10 , BC= 6, 所以 cosZ ACB = 6 3 , 因为 0= ODOP , 所以 3 ( PE+ 5)= 25 , 所以PE= 10 . 10 5 3 11. 答案： (1) 证明：如图 1 中，连接 OC. ?/ OA= OC,
13、 OCA=Z OAC, ?/ CD 是O O 切线, ?/ DCA+Z OCA= 90 ?/ AB 是直径 , ? Z CAB+Z B= 90 ? Z ACD = Z B. (2)在 RT4ABC 中， ?/ AC= 3 , BC= 4, 由勾股定理得AB = 5 , vZ CDA=Z BDC, Z DCA=Z B , ? DCAs DBC, DC ACDA 3 设 DC= 3k , DB= 4K, DB BCCD 4 2 CD = DADB , 2 9k =( 4k 5) 4k , ,206080 k= , ? CD= ,DB= 777 vZ CDE=Z BDF , Z DCE=Z B ,
14、60 12. 答案： ( 1) 由Z KGE=Z AKH = Z GKE 可证 KE= GE (2)由厶 GKD EGK 可证得KG = KD GE .OC 丄 CD, ?/ OCD= 90 ? DCEs DBF , EC EF DC DB ，设 EC= CF= x, ? 7 ? 12 ?x= 80 , 7 12 ? CE= 7 7 25 (3)FG= 25 2. 8 ( 2) PMN 是等腰直角三角形, ?/ PMN=Z PNM ?/ OPN=/ OPN,APNGAPON. PNG 的周长：PON 的周长 = PG:PN = 3： 4. ? PNG 的周长 =6,A APON 的周长 =8.
15、 10. 答案： (1)如图所示，连接0B, 因为 PB 是O O 切线，所以 / PBO = 90因为0A = 0B, BA 丄 PO 于 D, 所以 AD = BD,Z P0A=Z P0B, 所以在APA0 和APB0 中，OA= OB,/ P0A=Z P0B, PO= PO, APAO APBO ( SAS), 所以/ PAO= / PBO= 90所以OA 丄 PA,直线 PA 为O O 切线。 2 (2)EF = 4ODOP 。因为 / PAO= / PDA= 90 , 所以 / OPA+Z AOP = 90 , 且 / OAD+Z AOD = 90 , 则 / OAD =/ OPA,
16、 因为Z AOD=Z POA, 所以AOA AOPA, 所以 D OA , 即OA?= OD OP, 又因为EF= OA OP 2 2OA 所以 EF 2= 4ODOP. 1 (3)因为 OA= OC AD = BD BC =6 由三角形中位 线定理可知0D= BC=3 设 AD=x 因为 tanZF 2 1 22 = , 所以 FD= 2x , 0A= OF= 2x 3, 在 RtAAOD 中，由勾股定理得 ( 2x 3) = x + 3, 解得 X1 = 4 或 X2 2 =0 ( 舍去 ) ，所以AD= 4 , OA= 2x 3 = 5 , 因为 AC 是O O 直径，所以Z ABC= 90 又因为 AC= 2OA= 10 ,
