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1、第2课时 分段函数及映射,一、分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同 的_的函数.,对应关系,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续. ( ) (2)若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则 D1D2=.( ) (3)函数 是分段函数.( ),提示：(1)错误.分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可 以是点或几段图象. (2)错误.虽然分段函数在x的不同取值范围，对应不同的对应 关系，但D1D2可能不是空集，如函数 (3)正确.它符合分段函数的定义. 答案：(1) (2) (3),二、映射,非
2、空,唯一确定,从集合A到集合B,思考：映射与函数有什么区别与联系? 提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集合，函数中集合A，B必须是数集. 联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广.,【知识点拨】 1.对分段函数的认识 (1)对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数. (2)定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集. (3)值域：分段函数值域为各段函数值的并集. (4)图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实.,2.对映射概念的理解 (1)非空集合：集合A,B可以是数集、点集或其他集合，但一定是非空的. (2)顺序性：集
3、合A，B有先后顺序，从A到B的映射和从B到A的映射是不同的. (3)唯一性：A中每一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，即要求对应是“一对一”或“多对一”.,类型 一 分段函数求值问题 【典型例题】 1.(2012江西高考)设函数 则f(f(3)=( ) A. B.3 C. D. 2.(2013温州高一检测)设函数 若f(a)=4,则 实数a=( ) A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2,【解题探究】1.形如f(f(x)的求值问题应如何求？ 2.在已知分段函数值的情况下如何确定自变量的值？ 探究提示： 1.形如f(f(x)的求值问题可从里向外求，先求f(x)的值，再求f(f
4、(x)的值. 2.在已知分段函数值的情况下，应通过分类讨论来确定自变量的值，即在分段函数不同的定义子区间内分别求.,【解析】1.选D.f(3)= f(f(3)=f( )= 2.选B.当a0时，由-a=4,得a=-4; 当a0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2.,【互动探究】题1条件不变，若f(a)+f(-1)=4,求a的值. 【解析】因为-11,所以f(-1)=2, 又f(a)+f(-1)=4,所以f(a)=2, 当a1时，由a2+1=2,得a=1; 当a1时，由 =2,得a=1(舍去)，所以a=1. 综上，a=1.,【拓展提升】 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确
5、定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值.,2.已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.,【变式训练】(2013绵阳高一检测)函数 则f( )的值为( ) A. B. C. D.18 【解析】选C.x1,f(3)=32-3-3=3，又 1, f( )=f( )=1-( )2=,类型 二 分段函数的图象及应用问题 【典型例题】 1.已知函数f(x)定义在-1,1上，图象如图所示
6、，那么f(x) 的解析式是( ) A. B. C. D.,2.某市出租车的计价标准是：4km以内10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km. (1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式. (2)如果某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？ 【解题探究】1.已知函数图象，一般用什么方法求其解析式? 2.怎样建立题2中的函数关系？,探究提示： 1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式. 2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.,【解析】1.选C.当x-1,0时，设f(x)=
7、ax+b,由图象过点 (-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;当x(0,1 时，设f(x)=ax,由图象过(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x. 所以,2.(1)设车费为y元，行车里程为xkm. 则根据题意得 (2)当x=20时，y=1.820-5.6=30.4,即当乘车20km时，要付 车费30.4元.,【拓展提升】 1.由分段函数的图象确定函数解析式的方法 (1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型. (2)设函数式：设出函数的解析式. (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式. (4)下结论
8、：最后用“”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.,2.利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言. (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型. (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.,【变式训练】已知 (1)画出f(x)的图象. (2)若f(x) 求x的取值范围. (3)求f(x)的值域. 【解题指南】解答本题的关键是根据分段函数的性质及常见 函数的图象画出f(x)的图象，然后根据条件求解(2)(3).,【解析】(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示. (2)由于 结合此函数图象可知，使f(x) 的x的 取值范围是(-, +). (3)由图
9、象知，当-1x1时， f(x)=x2的值域为0,1, 当x1或x-1时，f(x)=1. 所以f(x)的值域为0,1.,类型 三 映射及映射的判断 【典型例题】 1.(2013安庆高一检测)设集合A=x|1x2, B=y|1y4，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射的是( ) A.f:xy=x2 B.f:xy=3x-2 C.f:xy=-x+4 D.f:xy=4-x2,2.下列对应是不是从A到B的映射，为什么？ (1)A=(0,+),B=R,对应关系是“求平方根” . (2)A=x|-2x2,B=y|0y1,对应关系是 f:xy= (其中xA,yB). (3)A=x|0 x2,B=y|0y1,
10、对应关系是f:xy=(x-2)2 (其中xA,yB). (4)A=x|xN,B=-1,1,对应关系是f:xy=(-1)x(其中xA, yB).,【解题探究】1.从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？ 2.怎样判断一个对应是映射？ 探究提示： 1.映射中要求元素对应是“一对一”或“多对一”，即A中的元素在集合B中有唯一的元素与之对应. 2.判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合A中元素是不是在集合B中都有唯一的元素与之对应.,【解析】1.选D.对于D，当x=2时，由对应关系y=4-x2,得y=0,在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成A到B的映射. 2.(1)不是从A到B的映射.因为
11、任何正数的平方根都有两个，所以对A中任何一个元素，在B中都有两个元素与之对应. (2)是从A到B的映射.因为A中每个数的平方除以4后，都在B中有唯一的数与之对应. (3)不是从A到B的映射.因为A中有的元素在B中无元素与之对应.如0A,而(0-2)2=4B.,(4)是从A到B的映射.因为A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.,【拓展提升】判断一个对应是不是映射的方法 判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足： (1)集合A中元素在B中都有元素与之对应且唯一. (2)对应是一对一或多对一.,【变式训练】(2013杭州高一检测)a,b为实数，集合M= 1, N=a,0,f:x2x表
12、示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x, 求a+b的值. 【解析】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a,故 a=2,故N=2,0,而M中的 可能对应集合N中的2或0，当 对 应2时，则 =1,则b=2,此时M中有两个相同元素，不合适，故 b=2应舍去，当 对应0时，则 =0,则b=0，此时M=0,1，符 合题意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2.,映射与函数的关系 【典型例题】 1.下列对应为A到B的函数的是( ) A.A=R,B=x|x1,f:xy=|x| B.A=Z,B=N*,f:xy=x2 C.A=Z,B=Z,f:xy= D.A=-1,1,B=0,f:xy=0,2.根据
13、所给的对应关系，回答下面的问题： A=N*,B=Z,f:xy=3x+1,xA,yB；A=x|x为高一(2)班 的同学，B=x|x为身高,f:每个同学对应自己的身高;A=R, B=N,f:xy= xA,yB. 上述三个对应关系中，是映射的是_，是函数的是_.,【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0R,且|0|=0B, 故A不是A到B的函数；对于B，0Z,且02=0N*,故B不是A到B的函数；对于C，当x0时，如-2Z,但 无意义，故C不是A到B的 函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函 数. 2.是映射，但中A不是数集，所以只能是映射，而不是 函数.中当x=0时，在集
14、合B中没有元素与之对应. 答案： ,【拓展提升】判断对应是否为函数的关键点 (1)两个集合是否为非空数集. (2)对集合A中的每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应. (3)集合A中任一元素在集合B中的对应是否唯一.,【变式训练】设M=x|0 x2,N=y|1y2,给出下面4个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是_.,【解析】(1)(2)中，当0 x2时，有部分与x对应的y值不在集合N中；(3)中，x在0,2)内取值时，在集合N中有两个元素与之对应；只有(4)符合函数的概念. 答案：(4),【规范解答】由分段函数值求自变量的值(范围) 【规范解答】由f(a)=3，结合f(x)的解
15、析式知，按a-1, -1a2和a2进行讨论. 1分 当a-1时， f(a)=a+2, 2分 由a+2=3,【典例】,【条件分析】,得a=1,与a-1相矛盾，应舍去. 4分 当-1a2时，f(a)=2a, 5分 由2a=3, 得a= 满足-1a2. 7分 当a2时， f(a)= 8分 由 =3,得a= 又a2,a= 10分 综上可知，a的取值为 或 . 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.正确理解分段函数的含义 分段函数是一个函数，只是在定义域的不同子区间内对应关系不同，因此在求值时要注意自变量的取值.如本例，若不对自变量取值进行讨论，则易出错. 2.分类标准要明确 已知分段函数值求自变量的
16、值时，要注意分类讨论，确定讨论标准是关键，讨论一般是以子区间的端点为标准. 如本例是以-1和2为分界点来讨论的.,【类题试解】1.已知函数 若f(a)+f(1)=0,则求 实数a的值. 【解析】当a0时，由f(a)+f(1)=0得,2a+2=0，解得a=-1,舍 去；当a0时，由f(a)+f(1)=0得,a+1+2=0，解得a=-3.,2.(2013安庆高一检测)设集合A=0, ),B= 1，函 数 若x0A,且f(f(x0)A,则求x0的取值 范围. 【解析】因为x0A,所以0 x0 且f(x0)=x0+ 又 x0+ 1,所以(x0+ )B,所以f(f(x0)=2(1-x0- )= 2( -x0),又f(f(x0)A,所以02( -x0) 所以 x0,1.已知集合Aa，b，集合B0,1，下列对应不是A到B的映射的是( ) 【解析】选C.A，B，D均满足映射的定义，
