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1、第十一章 一阶方程与可降阶的二阶方程11-1一般概念简介常微分方程来源于实际问题，反映客观现实世界运动过程中量与量之间的关系。引例：初速，以作直线运动。问多久停止？行驶多少？几个概念：1 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间的关系的方程。（例、引例）2 常微分方程：自变量只有一个的微分方程。3 阶：微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。（例、引例，阶微分方程一般形式）4 解：代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数。（引例，阶微分方程解的一般形式）5 通解：如果阶微分方程的解中含有相互独立的个任意常数，则此解称为此微分方程的通解。（引例，说明通解未必全部解）6 特解：不含任意常数的
2、解。（引例）7 初始条件：用来确定通解中任意常数的已知条件，（满足初始条件的解是特解） （引例）8 初值问题：求满足初始条件的特解问题。（引例）9 几何意义：积分曲线（族）。（例）例1：验证函数是微分方程的解小结：重要概念11-2一阶微分方程一般形式： 或一、可分离变量的微分方程引例：曲线上任一点M处切线与OM垂直，曲线过（1，1），求曲线方程。一般形式： 或 （例2后）方法：分离变量，两边积分。关键：判断（尝试写成上形式）例1：求通解 （）说明C是相乘的。例2：求特解 二、一阶齐次方程一般形式： =()方法：换元化可分离变量的微分方程（具体介绍）关键：判断（尝试写成上形式）例3：求 的通解。
3、 （y=）例4：求通解 （）三、一阶线性微分方程线性： 非线性：举例一阶线性微分方程： +P(x)y=Q(x) 非齐次 + P(x)y=0 齐次（对应性）1 + P(x)y=0 通解：y=ce2 +P(x)y=Q(x) （常数变易法）通解：y= e( edx+c) 结构介绍关键：判断 写成标准形式例5：求解通解问题 两法 说明各自特点、利弊及注意点 通解 例6：求（2x+ y）dy=ydx的通解。视x为y函数 通解 x= y(y+C)四、伯努利（Bernoulli）方程方程 称为伯努利方程。作变量代换：，可得一阶线性微分方程:,容易求得它的通解，代回变量后可得到伯努利方程的通解。例：求方程小结
4、：四类型的判断及求解方法，解题过程中的注意点。作业：P201/ 1,2,511-3可降阶的二阶微分方程在二阶微分方程中：，当不同时显含时，一般可通过适当的变量代换降为一阶方程来求解。一、型的微分方程接连积分n 次,可得方程的通解.例1：求通解 通解 二、 型的微分方程设y=p, 则y= p= ,方程化为 =f(x，p), 这是一个以P为未知函数，x为自变量的一阶微分方程,设其通解为 p=(x，c), 得=(x，c) ,对它积分便得原方程的通解y=(x，c)dx+ c例2：解初值问题 特解 三、 型的微分方程 设y=p, 则y=p, 方程化为 p= f(y，p), 这是一个以P为未知函数，y为字变量的一阶微分方程,设其通解为y=p= (y，c), 分离变量并积分, 便得原方程的通解 =x+ c例3 求方程2y y= y+ y 满足初始条件 y(0)=1, y(0)=-1 的特解。通解：y= Ce； 特解： y= e .小结：类型及解法作业：P201/7,8,9
