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1、第四章 向量空间,4.1 向量空间,4.2 向量内积,4.3 正交矩阵,的标准正交基 两组标准正交基间的过渡矩阵 正交矩阵及其性质 求标准正交基的方法,【注】 1标准正交基不唯一；,2特点: 设 是 的一组标准正交基,则,例如,设,一、 的标准正交基,二、两组标准正交基间的过渡矩阵,证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以,T = QTT Q ,所以 T = E, T = E,故,(2) Q 为正交矩阵, 则 也是正交矩阵 ;,(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;,定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足,称 Q 为正交矩阵.,则,(4) Q为正
2、交矩阵, 则,三、正交矩阵及其性质,1若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交矩阵.,2若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正交基.,3若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正交基 .,小结：设,例1 设 是 的一组标准正交基, 证明,是一组标准正交基 .,证明：设,则,且,即 Q 为正交矩阵,所以,是一组标准正交基 .,答：(4)不正确。,【注】设 , 为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下 |A| = | | , 且T = (A)T (A) .,向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.,四、求标准正交基的方法,1施密特正交化方法,令,即, ,则 是与 等价且两两正交的向量组.,2在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：,1用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组;,2将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).,例4 已知 是 的一组基， 将其化为标准正交基.,解答见书上187页例4。,作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 1924, 25(1), 26, 27, 28,
