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1、学习必备欢迎下载 高三一轮复习讲座二 -函数 一、复习要求 1、函数的定义及通性； 2、函数性质的运用。 二、学习指导 1 、函数的概念： （1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b 与之对 应，则称从A到 B的对应为映射，记为f ：AB，f 表示对应法则，b=f(a) 。若 A中不同元素的 象也不同，则称映射为单射，若B 中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单 射又是满射的映射称为一一映射。 （2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集 C=f(x)|x A为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素
2、，从逻辑上讲，定义域， 对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。 求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义 域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域， 不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联 系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。 函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知 类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。 求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法
3、的途径有单调性，基本不等式 及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围 内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。 在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建 立函数解析式，借助于求函数值域的方法。 2、函数的通性 （1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时， 应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如0)x(f)x(f，1 )x(f )x(f （f(x) 0） 。 奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。 函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。 利用奇
4、偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。 （2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法：定义法，即比差法；图象法；单调性的运算性质（实质上 是不等式性质） ；复合函数单调性判断法则。 函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。 函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小， 解抽象函数不等式等。 （3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。 求周期的重要方法：定义法；公式法；图象法；利用重要结论：若函数f(x) 满足 f(a-x)=f(a+x)， f(b-
5、x)=f(b+x)，ab，则 T=2|a-b|。 （4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判 断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f -1 (x) 的性质与f(x) 性质紧密相连，如定义域、值 域互换，具有相同的单调性等，把反函数f -1(x) 的问题化归为函数 f(x) 的问题是处理反函数问 题的重要思想。 设函数 f(x)定义域为A，值域为C，则 f -1f(x)=x ，x A ff -1 (x)=x，x C 2、函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中， 充分发挥图象的工具作用。 图象作法：描点法
6、；图象变换。应掌握常见的图象变换。 4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具 体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。 对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。 联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。 应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的 关键。 5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。 三、典型例题 例 1、 已知 1x 3x2 )x(f， 函数 y=g(x) 图象与 y=f -1 (x+1)
7、 的图象关于直线y=x 对称，求 g(11) 的值。 分析： 学习必备欢迎下载 利用数形对应的关系，可知y=g(x) 是 y=f -1 (x+1) 的反函数，从而化g(x) 问题为已知f(x) 。 y=f -1 (x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1 y=f -1 (x+1) 的反函数为y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 g(11)=f(11)-1= 2 3 评注： 函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a) ，则 a=f -1 (b) 。 例 2、设 f(x)是定义在（ - ， +）上的函数，对一切xR均有 f(x)+f(x+2)=0，当
8、-1x 1 时， f(x)=2x-1，求当 1x3 时，函数f(x) 的解析式。 解题思路分析： 利用化归思想解题 f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切xR成立 以 x-2 代 x 得： f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x) 当 1x3 时， -1x-2 1 f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5 f(x)=-2x+5（1x3） 评注： 在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应 的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。 例 3、已知 g(x)=-x 2-3，f(x) 是二次函数
9、， 当 x-1 ，2 时，f(x) 的最小值， 且 f(x)+g(x) 为奇函数，求f(x)解析式。 分析： 用待定系数法求f(x)解析式 设 f(x)=ax 2+bx+c（a0） 则 f(x)+g(x)=(a-1)x 2+bx+c-3 由已知 f(x)+g(x)为奇函数 03c 01a 3c 1a f(x)=x 2+bx+3 下面通过确定f(x)在-1 ，2 上何时取最小值来确定b，分类讨论。 4 b 3) 2 b x()x(f 2 2 ，对称轴 2 b x （1）当 2 b 2， b-4 时， f(x) 在 -1 ，2 上为减函数 7b2)2(f)x(f ( min 2b+7=1 b=3
10、（舍） （2）当 2 b （-1，2） ，-4b0 时， f(x)1，且对任意的a、bR，有 学习必备欢迎下载 f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证： f(0)=1 ； （2）求证：对任意的xR，恒有 f(x)0； （3）证明： f(x)是 R上的增函数； （4）若 f(x)f(2x-x 2)1，求 x 的取值范围。 分析： （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0) 2 f(0)0 f(0)=1 （2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) )x(f 1 )x(f 由已知 x0 时， f(x)10 当 x0 ，f(-x)0 0 )x(f 1 )x(f 又 x=0 时
11、， f(0)=10 对任意 xR， f(x)0 （3）任取 x2x1，则 f(x 2)0 ，f(x1)0 ，x2-x10 1)xx(f)x( f)x(f )x( f )x( f 1212 1 2 f(x2)f(x1) f(x)在 R上是增函数 （4）f(x) f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又 1=f(0) ， f(x) 在 R上递增 由 f(3x-x 2)f(0) 得： 3x-x 20 0x3 评注： 根据 f(a+b)=f(a)f(b) 是恒等式的特点，对a、b 适当赋值。利用单调性的性质去 掉符号“ f”得到关于x 的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方
12、法。 例 5、已知 lgx+lgy=2lg(x-2y)，求 y x log 2 的值。 分析： 在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y 满足的条件 由已知得 2 )y2x(xy 0y2x 0y,0 x x=4y ，4 y x 44log y x log 22 例 6、某工厂今年1 月，2 月，3 月生产某产品分别为1 万件， 1.2 万件， 1.3 万件，为了估 测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月 份数 x 的关系，模拟函数可选用y=ab x+c（其中 a，b，c 为常数）或二次函数，已知 4 月份该产 品的产量为1.37 万件，请问用哪个函
13、数作为模拟函数较好？并说明理由。 分析： 设 f(x)=px 2+qx+r （p0） 则 3.1rq3p9) 3(f 1rq2p4)2(f 1rqp) 1(f 7.0r 35.0q 05.0p f(4)=-0.054 2+0.35 4+0.7=1.3 设 g(x)=ab x+c 则 3.1cab) 3(g 2.1cab)2(g 1cab) 1(g 3 2 4.1c 5.0b 8.0a 学习必备欢迎下载 g(4)=-0.80.5 4+1.4=1.35 |1.35-1.37|bc B、acb C、bca D、cba 2、方程x)2x(loga （a0 且 a1）的实数解的个数是 A、 0 B、1
14、C、2 D、3 3、 | x 1 | ) 3 1 (y的单调减区间是 A、 （- ， 1） B、 （1，+） C、 （- ， -1 ）（ 1， +） D 、 （- ， +） 3、函数)12x4x(logy 2 2 1 的值域为 A、 （- ， 3 B、 （ - ， -3 C、 （-3，+） D、 （3，+） 4、函数 y=log2|ax-1|（ab）的图象的对称轴是直线x=2，则 a 等于 A、 2 1 B、 2 1 C、2 D、-2 6、有长度为24 的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长 度为 A、 3 B、 4 C、6 D、12 （二）填空题 7、已知定义在R的
15、奇函数f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当 0 x1 时， f(x)=x，则 ) 2 15 (f=_。 8、 已知 y=loga(2-x) 是 x 的增函数，则a 的取值范围是 _。 9、 函数 f(x) 定义域为 1 ，3 ，则 f(x 2+1)的定义域是 _。 10、函数 f(x)=x 2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x) ，且 f(0)=3 ，则 f(b x) 与 f(cx) 的大小关系是 _。 11、已知 f(x)=log3x+3，x 1 ，9 ，则 y=f(x) 2+f(x2) 的最大值是 _。 12、已知 A=y|y=x 2-4x+6 ，yN，B=y|y=-x2-2x+18 ，yN，则 AB中所有元素的和是 _。 13、若 (x) ，g(x) 都是奇函数， f(x)=m (x)+ng(x)+2在（0，+）上有最大值，则f(x) 在（ - ， 0）上最小值为_。 14、函数 y=log2(x 2+1)（ x0）的反函数是 _。 15、求值： bcacabcbcaba xx1 1 xx1 1 xx1 1 =_。 （三）解答题 16、若函数 cx 1ax )x(f 2 的值域为 -1 ，5 ，求 a，c。 17、设定义在 -2 ，2 上的偶函数f(x) 在区间 0
