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1、1 立体几何专题：空间角和距离的计算立体几何专题：空间角和距离的计算 一一 线线角线线角 1直三棱柱 A1B1C1-ABC，BCA=900，点 D1，F1分别是 A1B1和 A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，求 BD1与 AF1所成角的余弦值。 F1 D1 B1 C1 A1 B A C 2在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BAD=900，ADBC，AB=BC=a， AD=2a，且 PA面 ABCD，PD 与底面成 300角， （1）若 AEPD，E 为垂足，求证：BE PD；（2）若 AEPD，求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小； A B C D P E 二线
2、面角二线面角 1正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1、CD 的中点，且正方体的棱长为 2， （1） 求直线 D1F 和 AB 和所成的角；（2）求 D1F 与平面 AED 所成的角。 CD E F D1 C1 B1 A1 A B 2在三棱柱 A1B1C1-ABC 中，四边形 AA1B1B 是菱形，四边形 BCC1B1是矩形，C1B1AB， AB=4，C1B1=3，ABB1=600，求 AC1与平面 BCC1B1所成角 的大小。 B1 C1 A1 B A C 2 三二面角三二面角 1已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点， （1）证明 AB1平面 DB
3、C1； （2）设 AB1 BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的二面角的大小。 D B1 C1 A1 B A C 2 ABCD 是直角梯形， ABC=900， SA面 ABCD， SA=AB=BC=1， AD=0.5， （1） 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小；（2）求 SC 与面 ABCD 所成的角。 B A D C S 3已知 A1B1C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，A1AC=600，A1AB=450，求二面角 BAA1C 的大小。 B1 C1 B A C A1 四四 空间距离计算空间距离计算 （点到点、异面直线间距离）（点到点、异面直线间距离）1.在棱
4、长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP 交 AC 于 M，B1P 交 BC1于 N， （1）求证：MN 上异面直线 AC 和 BC1的公垂线；（2） 求异 面直线 AC 和 BC1间的距离； C D N M P D1 C1 B1 A1 A B 3 （点到线，点到面的距离）（点到线，点到面的距离）2 点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA面 ABCD， Q 为线 段 AP 的中点， AB=3， CB=4， PA=2， 求 （1） 点 Q 到直线 BD 的距离；（2）点 P 到平面 BDQ 的距离； 3边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC=600，PC平面 A
5、BCD，E 是 PA 的中点，求 E 到平 面 PBC 的距离。 （线到面、 面到面的距离）（线到面、 面到面的距离） 4. 已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的侧面A1ACC1与底面ABC垂直， ABC=900，BC=2，AC=2，且 AA1A1C，AA1=A1C， （1）求侧棱 AA1与底面 ABC 所3 成角的大小；（2）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小；（3）求侧棱 B1B 和侧 面 A1ACC1距离； B1 C1 B A C A1 5正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD、ABFE 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF
6、 上移动，若 CM=NB=a（） ， （1）求 MN 的长；（2）20 a 当 a 为何值时，MN 的长最小； 立体几何中的向量问题空间角与距离立体几何中的向量问题空间角与距离 基础自测基础自测 4 1.已知两平面的法向量分别为 m m=（0，1，0） ，n n=（0，1，1） ，则两平面所成的二面角为 . 答案 答案 45或 135 2.二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB=4， AC=6，BD=8，CD=2 17 ，则该二面角的大小为 . 答案 答案 60 3.如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1
7、中，O 是底面 ABCD 的中心，E、 F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于 . 答案 答案 5 15 4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCOABCD，AC 的 中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 . 答案 答案 a 2 2 5.（2008福建理，6）（2008福建理，6） 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2， AA1=1， 则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为 . 答案 答案 5 10 例 1例 1 （2008海南理，18）（2008海南理，18）如图所示，已知点 P 在正方体
8、 ABCDABCD的对角线 BD上,PDA=60. (1)求 DP 与 CC所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小. 解解 如图所示，以 D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz. 则DA=（1，0，0） ，C C =(0,0,1). 连接 BD,BD. 在平面 BBDD 中, 延长 DP 交 BD于 H. 设DH=(m,m,1) (m0),由已知DH,DA=60, 由DADH=|DA|DH|cosDH, DA, 可得 2m=12 2 m. 解得 m= 2 2 ,所以DH=（ 2 2 , 2 2 ,1）. (1)因为 cosDH,C C = 21 110
9、 2 2 0 2 2 = 2 2 , 所以DH,C C =45, 5 即 DP 与 CC所成的角为 45. (2)平面 AADD 的一个法向量是DC=(0,1,0). 因为 cosDH,DC= 21 011 2 2 0 2 2 = 2 1 , 所以DH,DC=60, 可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30. 例 2例 2 在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=23，M、N 分别 为 AB、SB 的中点，如图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离. 解解 取 AC 的中点 O，连接 OS、OB. SA=SC，AB=BC， ACS
10、O，ACBO. 平面 SAC平面 ABC， 平面 SAC平面 ABC=AC， SO平面 ABC，SOBO. 如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 B（0，23，0） ，C（-2，0，0） ，S（0，0，22） ， M（1，3，0） ，N（0，3，2）. CM=（3，3，0） ，MN=（-1，0，2） ，MB=（-1，3，0）. 设 n n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量， 则 02 0 z-x 33x n n n n MN yCM ，取 z=1， 则 x=2,y=-6,n n=（2，-6，1）. 点 B 到平面 CMN 的距离 d= 3 24 n n n n MB . 例
11、3例 3 （16 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PA=AB=1，AD=3， 点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动. （1）点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由； （2）求证：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF； （3）当 BE 为何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45. （1）解解 当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行. 在PBC 中，E、F 分别为 BC、PB 的中点，EFPC. 又 EF平面 PAC，而 PC平面 PAC， EF平面 P
12、AC.4 分 （2）证明证明 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 6 则 P（0，0，1） ，B（0，1，0） ， F（0， 2 1 ， 2 1 ） ，D（3，0，0）. 设 BE=x，则 E（x，1，0） ， PEAF=（x，1，-1）（0， 2 1 ， 2 1 ）=0， PEAF.10 分 （3）解解 设平面 PDE 的法向量为 m m=(p,q,1), 由（2）知PD=（3，0，-1） ，PE=（x，1，-1） 由 0 0 PE PD mm mm ，得 m m= 1 , 3 1 , 3 1x .12 分 而AP=（0，0，1） ，依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45,
13、 sin45= 2 2 = AP AP mm mm ， 1 3 1 3 1 1 2 x = 2 1 ,14 分 得 BE=x=3-2或 BE=x=3+23（舍去）. 故 BE=3-2时，PA 与平面 PDE 所成角为 45.16 分 1.如图所示，AF、DE 分别是O、O1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC 是O 的直径， AB=AC=6， OEAD. （1）求二面角 B-AD-F 的大小； （2）求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值. 解解 （1）AD 与两圆所在的平面均垂直， ADAB，ADAF， 故BAF 是二面角 BADF 的平面角. 依题意可知，ABFC 是正方
14、形， BAF=45. 即二面角 BADF 的大小为 45; （2）以 O 为原点，CB、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ， 则 O（0，0，0） ， A（0，-32，0） ，B（32，0，0） ，D（0，-32，8） ， E（0，0，8） ，F（0，32，0） ， 7 BD=（-32，-32，8） ，EF=（0，32，-8）. cosBD,EF= EFBD EFBD = 82100 64180 =- 10 82 . 设异面直线 BD 与 EF 所成角为，则 cos=|cosBD,EF|= 10 82 . 即直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值为 10 82 .
15、2.已知：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 22，侧棱长为 4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点. （1）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1； （2）求点 D1到平面 B1EF 的距离. （1）证明证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ， B（22，22，0） ，E（22，2，0） ， F（2，22，0） ，D1（0，0，4） ， B1（22，22，4）. EF=（-2，2，0） ，DB=（22，22，0） ， 1 DD=（0，0，4） ， EFBD=0，EF 1 DD=0. EFDB，EFDD1，DD1BD=D， EF平面 BDD1B1. 又 EF
16、平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1. （2）解解 由（1）知 11B D=（22，22，0） ， EF=（-2，2，0） ，EB1=（0，-2，-4）. 设平面 B1EF 的法向量为 n n,且 n n=(x,y,z) 则 n nEF,n nEB1 即 n nEF=（x，y，z）（-2，2，0）=-2x+2y=0， n nEB1=（x，y，z）（0，-2，-4）=-2y-4z=0， 令 x=1,则 y=1,z=- 4 2 ,n n=(1,1,- 4 2 ) D1到平面 B1EF 的距离 d= n n n n 11B D = 2 22 4 2 11 2222 = 17 1716 . 3.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB=3， BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点. （1）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； 8 （2）在侧面 PAB 内找
