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1、1 射洪中学高 2014 级高一数学奥赛平面向量专题 空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中 多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用2001 年高中课改后，这个更 接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来由于向量同时具有数 与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的 图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活这里，就全国高中数学联赛 试题中涉及的一些向量问题作一些探究 一、有关知识：一、有关知识： （1） 共线向量定理：存在唯一的实数使得()ab b0a =b （2）平面向量基本定理：设向量为平面内两个不共线的向量，则对于
2、平 12 ,e e 面内任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数对使得a 12 , 1 122 aee （ 3）若， 则三 点 共 线 的 充 要 条 件 是( ,)OPOAOB R , ,P A B 定比分点公式：若点在直线上，且，为任意1PABAPPB O 一点，则 1 OAOB OP （4）对于向量， 1122 ( ,),(,)x yxya =b 1212 00 x xy yaba b （5）设为两个向量，则，, a babababa ba b （6）两向量的夹角公式：；向量模长公式：；cos, a b a b a b aa a （7）三角形中“四心”的向量形式： 重心：若为的重心，则；GA
3、BC0GAGBGC 垂心：若为的垂心，则(1)；HABCHA HBHB HCHC HA (2) ； 222222 HABCHBCAHCAB 外心：若为的外心，则；OABC 2211 , 22 AO ABABAO ACAC 结合垂心有：；OHOAOBOC 内心：若为的内心，则IABC0BC IACA IBAB IC 二、赛题分析：二、赛题分析： 几何中的运用几何中的运用 例例 1、在、在ABC 所在平面有一点所在平面有一点 P 满足，则满足，则ABC 与与PBC 的的BCPCPBPA 面积之比为面积之比为 变变 1.（ 2004 年 全 国 高 中 联 赛 ） 设点 在的 内 部 ， 且 有OA
4、BC ，则 的面积与的面积之比为（ ）230OAOBOC ABCAOC A B C D2 3 2 3 5 3 【拓展】【拓展】 命题：命题：设点在的内部，则成立的PABC 123 0(0,1,2,3) i PAPBPCi 充要条件是 123 : BPCCPAAPB SSS 推论：推论：设点在的内部，若，若PABC 123 0(0,1,2,3) i PAPBPCi (1)，则为的重心，反之也成立； 123 :1:1:1PABC 2 (2)， 则为的外心， 反之也成立 ； 123 :sin:sin:sinBPCCPAAPBPABC (3)，则为的内心，反之也成立； 123 :BCCAABPABC
5、(4)，则为的垂心，反之也成立 123 :tan:tan:tanABCPABC 注：由平面向量基本定理知，对于给定的内部的任意一点，ABCP 中的的比值是唯一的，而推论 123 0(0,1,2,3) i PAPBPCi 123 : 即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值 设点O在ABC内部，且40OAOBOC ，则ABC的面积与OBC的面积之比是 ： D A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 已知内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且ABC0543OCOBOA (1)求数量积求数量积,OBOA,OBOC OCOA （2）求 的面积ABC 例 2.四心 1、若 为内一点， ，则 是 的（
6、）OABC0OAOBOC OABC A内心 B外心 C垂心 D重心 归纳：G 是ABC 所在平面内一点，=0点 G 是ABC 的重心.GCGBGA P 是ABC 所在平面内任一点.G 是ABC 的 重心.)( 3 1 PCPBPAPG 变式 ：变式 ： 已知分别为的边的中点 则DEF，ABCBCACAB，ADBECF 0 变式引申：变式引申：如图 4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，ABCDOP 则 1 () 4 POPAPBPCPD 2、若 为内一点，则 是 的（ ）OABCOAOBOC OABC A内心 B外心 C垂心 D重心 例 1： （2003 年全国高考题）是平面上一定点，A
7、、B、C 是平面上不共线的三点，动点 PO 满足，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）)( AC AC AB AB OAOP, 0 （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 3 4已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，则P的轨迹一定通过ABC的(C )()OPOAABAC A.外心 B. 内心 C. 重心 D垂心 （ 2005 年 北 京 市 东 城 区 高 三 模 拟 题 ）为 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 如 果O ，则 O 必为ABC 的（ ）OAOCOCOBOBOA （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 例 3：已知 O
8、 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 ，则点 O 是三角形 ABC 的（ ） 222222 ABOCCAOBBCOA （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出 故选答案 DOAOCOCOBOBOA 例 4：设是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， O 动点 P 满足，则动点 P 的轨迹一定通) coscos ( CAC AC BAB AB OAOP, 0 过ABC 的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上 故选答案 D0)() coscos (BCBCBC CAC AC BAB AB 若点 O 为为ABC 所在的平面内一点，满
9、满足 ，则则点 O 为为ABC 的外心。 O 是三角形ABC中的外心，平面上一点 P 满足则则 P 为三角形OPOCOBOA 的( ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 O 为ABC 所在平面内一点，A，B，C 为ABC 的角，若 sinA+sinBOAOB +sinC，则点 O 为ABC 的_心.OOC 6 已 知 ABC，P为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 点P满 足 ： ，则P点为三角形的(B )0a PAb PBcPC A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 7在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过ABC 22 2CACBAB CP 的(
10、B ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 9.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHm OAOBOC 4 A B C M N G 图 1 则实数m= 1 11.如图 1， 已知点G是ABC的重心， 过G作直线与AB， AC两边分别交于M，N两点，且，则AMxAB ANyAC 。 11 3 xy 证证 点G是ABC的重心，知，得GAGBGC 0 ，有。()()AGABAGACAG 0 1 () 3 AGABAC 又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)， 于是存在，使得，(1)AGAMAN 且 有=，得，于是得。AGxAByAC 1 () 3 ABAC 1 1 3
11、 xy 11 3 xy 例 3、 2 在 ABC 中 ， 且 a b0， 则 ABC 的 形 状 是bBCaAB , _. 4若 O 为ABC 的内心，且，则ABC 的OOAOCOBOCOB)2()( 形状为_. 若O为ABC 所在平面上的一点且满足|=|,则ABC的OCB 0OAOCOB2 形状为 8.非零向量与满足(+)=0且=,则ABC为(D)AB AC | AB AB | AC AC BC | AB AB | AC AC 1 2 A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D等边三角形 解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， | ABAC ABAC
12、 BC AB=AC，又=，A=，所以ABC为等边三角形.cos A | | ABAC ABAC 1 23 12在四边形ABCD 中，如果dDAcCDbBCaAB, ab=bc=cd=da，试判断四边形 ABCD 的形状。 已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1， 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 求证： P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下） ，复习参考题五 B 组第 6 题） 证明： 由已知+=-，两边平方得=， 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 2 1 同理 =， |=|=|=，从而P1P2P3是正 2 OP 3
13、 OP 3 OP 1 OP 2 1 21P P 32P P 13P P3 三角形. 反之， 若点O是正三角形P1P2P3的中心， 则显然有+=0且|=|=| 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP |，即 O 是ABC 所在平面内一点， 5 +=0 且|=|=|点 O 是正P1P2P3的中心. 1 OP 2 OP 3 OP 1 OP 2 OP 3 OP 例例 3.（2006 年全国高中联赛）已知，若对任意，ABCtRBAtBCAC 则的形状是（ ）ABC A必为锐角三角形 B必为钝角三角形 C必为直角三角形 D不确定 【分析及解答】【分析及解答】 思路：思路：这里是和向量相
14、关的几何不等式问题，由于 的任意性，故可考虑取适t 当的 将原式化为与向量相关的不等式t 令，点作于，由ABCAADBCDBAtBCAC 222 2 2BAt BA BCtBCAC 令代入上式得： 2 BA BC t BC 2222 22 2coscosBABABAAC 22 2 sinBAAC 22 2 sinBAAC 从而有，由此得故选 CADAC ACBC 【说明】【说明】此处令的目的是化为，将两个向量的模长统一，由 2 BA BC t BC BC BA 结合距离的定义即得ADAC ACBC 思路 ：思路 ： 思路中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直 接考虑条件的几何意义来证明 （）
15、的几何意义 ： 表示以为终点，起点BAtBC tRA 在直线上的所有向量（如图 3） BC 则说明为这些向量的最小值，BAtBCAC AC 故由距离最小性得，故选 CACBC 思路 ：思路 ： 由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代 数问题求解 由得BAtBCAC ，即(1)BABCtBCAC (1)CAtBCAC 于是， 22 (1)CAtBCAC 222 2 2 2 2(1)(1) (1)(2) (1)0 CAtCA BCtBCAC BCtCA BCt ,1tt RR 所以关于的二次不等式应满足1t A BC 图 3 6 ， 2 4()0BC AC 故选 C0 2 BC ACC
