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1、弧、弦、圆心角 1若 AB ，CD 是同一圆上的两段弧，且AB CD ，则弦 AB 与弦 CD 之间的关系是(C) AABCDBABCD CABCDD不能确定 【解析】同圆或等圆中等弧所对的弦相等 2如图 24127 所示， AB 是 O 的直径， C，D 是BE 上的三等分点，AOE60，则 COE 为(C) A40B60C80D 120 【解析】易知 EOB180 60 120.C，D 是BE 的三等分点，BC CD DE ， BOC COD DOE， COE 2 3EOB， COE 2 3120 80.故选 C. 图 24127 图 24128 图 24129 3如图 241 28，AB
2、 是 O 的弦， ODAB 于 D，延长 OD 交 O 于 E，则下列说法错 误的是 (D) AADBDB AOE BOE C.AE BE DODDE 【解析】由垂径定理得A， C 正确又由 AE BE 得 AOE BOE，故 B 正确，故选D. 4如图 24129，AB 是 O 的直径，点C，D 在 O 上， BOC110， ADOC，则 AOD (D) A70B 60 C50D 40 【解析】 AOC 180 BOC180 110 70.AD OC， A AOC70. OAOD， A D70. AOD 180 A D180 70 240.故选 D. 5已知 AB ，CD 是同圆的两段弧，且
3、AB 2CD ，则弦 AB 与 2CD 之间的关系为(B) AAB2CDBAB 2CD CAB2CDD不能确定 【解析】如图，在圆上截取DE CD ，则有 AB CE ， ABCE.CDDE2CDCE AB， AB2CD. 6如图24130，AB 是 O 的直径， BC，CD，DA 是 O 的弦，且BCCDDA，则 BCD (B) A105B120 C 135D150 图 24130 图 24131 7如图 241 31 所示， AB 是 O 的直径，如果COA DOB60，那么与线段OA 相等的线段有 _OC，OD，OB， AC，CD，DB_；与 AC 相等的弧有 _CD 和DB _ 8如图
4、 241 32，在 O 中， AB AC ， A42，则 B_69_ 【解析】AB AC ， ABAC， B C 1 2(180 A) 1 2(180 42)69. 图 24 132 图 24133 9如图 241 33，AB 为半圆 O 的直径， OCAB，OD 平分 BOC，交半圆于点D，AD 交 OC 于点 E，则 AEO 的度数是 _67.5_ 【解析】因为 OD 平分 BOC，所以 BOD 1 2BOC 1 2 90 45.因为 OAOD，所 以 A D.又因为 BOD A D2A，所以 A 1 2 BOD 1 245 22.5，所 以 AEO90 22.5 67.5. 10如图 2
5、4134 所示， D，E 分别是 O 的半径 OA，OB 上的点， CDOA，CE OB， CDCE，则 AC 与 CB 的大小关系是 _ACCB_ 图 24134 图 24135 11如图 24135，已知在 ABC 中， ACB90， B35，以 C 为圆心、 CA为半 径的圆交 AB 于 D 点，则弧AD 为_70_度 【解析】连接 CD， ACB90， B35， A90 B55. CACD， A CDA55， ACD180 2A70. 12 如图 24136， AB， BC， AC 都是 O 的弦，且 AOB BOC.求证：(1)BAC BCA； (2)ABO CBO. 图 24136
6、 【解析】(1)在 O 中，有圆心角AOB BOC，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB BC，在 ABC 中， ABBC，则 BAC BCA.(2)图中共有4 个等腰三角形，根据它们 的底角分别相等，可以得出结论 证明： (1) AOB BOC， ABBC， BAC BCA. (2)OBOA， ABO BAO， 同理得 CBO BCO， CAO ACO. 又 BAC BCA， BAO BCO， ABO CBO. 13如图 24 137 所示，已知AB 为 O 的直径， M，N 分别为 OA，OB 的中点， CM AB，DN AB，垂足分别为M，N.求证： AC BD . 图 24137 第 1
7、3 题答图 【解析】证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明 证明：如图所示，连接OC，OD，则 OCOD. 又 OM1 2OA，ON 1 2OB，OAOB， OMON， Rt CMORtDNO， COA DOB， AC BD . 14如图 24138 所示， A，B，C 为 O 上的三点，且有AB BC CA ，连接 AB，BC， CA. (1)试确定 ABC 的形状； (2)若 AB a，求 O 的半径 图 24138 第 14 题答图 解：(1) AB BC CA (已知 )， ABBC CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)， ABC 为等边三角形 (2)如
8、图，连接OA，OB，OC，过 O 作 OEBC，垂足为E.AB BC CA (已知 )， AOB BOC COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等) 又 AOB BOC COA360(周角的定义 )， BOC120.又 OBOC，OEBC， BOE COE60， BE EC 1 2BC 1 2AB 1 2a(等腰三角形三线合一 ) OBE90 BOE30.OE 1 2OB. 根据勾股定理得BE2 OE2 O B2， 1 2a 2 1 2OB 2 OB 2， 解得 OB 3 3 a(负值已舍 ) ，即 O 的半径为 3 3 a. 15如图 24139，A，B，C，D，E，F 是 O 的六等分点连
9、接AB，AD，AF，求证： ABAFAD. 【解析】连接 OB，OF，得到等边 AOB， AOF，据此并结合圆的性质，即可推理出AB AFAO OD，从而得到ABAFAD. 图 24 139 解：连接 OB，OF. A，B，C，D，E，F 是 O 的六等分点， AD 是 O 的直径， 且 AOB AOF60，又 OAOB，OA OF， AOB， AOF 是等边三角形，ABAF AOOD， AB AFAOOD AD. 16已知如图24140，A 点是半圆上一个三等分点，B点是 AN 的中点， P 是直径 MN 上 一动点， O 的半径为1，则 APBP 的最小值为多少？ 图 24140 第 16 题答图 【解析】利用圆的对称性，找到APBP 取最小值时的P 点，再结合弧与圆心角的关系得 到直角三角形，运用勾股定理求解 解：作 A 关于 MN 的对称点 A，根据圆的对称性，则A必在圆上， 连接 BA 交 MN 于 P，连接 P A，则 PAPB 最小，此时PAPBP APBAB，连接 OA， OA， OB. AN 1 3MN ， AON AON60. AB BN ， BON 1 2AON 30， AOB90， ABOA 2OB2 12122， 即 APBP 的最小值是2.
