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1、方程与几何综合 一一元二次方程与矩形 (教材 P22 习题 21.3 第 9 题) 如图 1，要设计一幅宽20 cm，长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽 度比为 3 2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果 保留小数点后一位)? 图 1 教材母题答图 【解析】结合图形，阅读理解题意(数形结合 )设横彩条宽为3x cm，则竖彩条的宽就为 2x cm，其长分别与矩形图案的长宽相关等量关系式为“ 彩条所占面积是图案面积的四分之 一” 解：如答图，根据题意，设横向彩条的宽为3x cm， 则竖向彩条的宽为2x cm，于是 建立方程，得2 30 3
2、x2 20 2x4 3x 2x 1 43020， 化简，得12x2130 x 750， 解得 x1 655133 12 0.611， x2 65 5 133 12 (不合题意，舍去)， 3x1.8，2x1.2. 答：横向彩条宽约1.8 cm，竖向彩条宽约1.2 cm. 【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思 想和方程思想 如图 2，在一块长为22 米、宽为17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂 直的道路 (两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 平方 米若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为_(22x)(17x)
3、300_ 【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方 形，根据长方形的面积公式列方程设道路的宽为x 米，由题意有(22x)(17x)300. 图 2 图 3 为响应市委市政府提出的建设“ 绿色襄阳 ” 的号召，我市某单位准备将院内一块长 30 m，宽 20 m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向 弯折的小道，剩余的地方种植花草如图3 所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小 道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边 形) 解：设小道进出口的宽度为x 米， 依题意得 (302x)(2
4、0 x)532， 整理，得x235x340，解得 x11，x234. 3430，不合题意，舍去，x1. 答：小道进出口的宽度应为1 米 注意： 为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个 思路填空，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需 按照解答题的一般要求，进行解答即可 如图 (1)，要设计一幅宽20 cm，长 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条 的宽度比为23，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计 每个彩条的宽度？ 图 4 分析：由横、竖彩条的宽度比为23，可设每个横彩条的宽度为2x cm
5、，则每个竖彩条的宽 度为 3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图(2) 所示的情况，得到矩形ABCD. (1)结合以上分析完成填空：如图 (2)，用含 x 的代数式表示： AB_206x_ cm；AD_30 4x_ cm；矩形 ABCD 的面积为 _24x 2 260 x600_ cm； (2)列出方程并完成本题解答 解： (2)根据题意， 得 24x 2260 x600 11 3 2030， 整理，得6x265x 500， 解方程，得x15 6，x210(不合题意，舍去 )， 则 2x 5 3，3x 5 2. 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 5 3
6、cm、 5 2 cm. 二一元二次方程与三角形 (教材 P21 习题 21.3 第 3 题) 一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2，求两条直角边的长 解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(14 x)cm，依题意，得 1 2x(14 x) 24， 解得 x16， x28. 答：这两条直角边的长分别为6 cm，8 cm. 【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思 想和方程思想 利用一元二次方程解决与直角三角形有关的问题时，常常用到面积关系或者 勾股定理 直角三角形两直角边长的和为7，面积为 6，则斜边长为(A) A5B.3
7、7C7D.38 【解析】设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7x，根据题意得 1 2x(7x) 6， 解得 x 3 或 x4，所以斜边长为3 2425. 如图 5， ABC 中， C90， AB10 cm，AC 8 cm，点 P 从点 A 开始出发向 点 C 以 2 cm/s 的速度移动，点Q 从点 B 出发向点C 以 1 cm/s 的速度移动，若P，Q 分别同 时从 A，B 出发，多少秒后四边形APQB 的面积是 ABC 面积的 2 3？ 图 5 解： ABC 中， C90， ABC 是直角三角形， 由勾股定理，得BC102826. 设 t s 后四边形APQB 的面积是 ABC面积
8、的 2 3， 则 t s 后， CQBCBQ6t， PCACAP82t. 根据题意，知SPCQ 1 3S ABC， 1 2CQPC 1 3 1 2ACBC， 即1 2(6t)(82t) 1 3 1 28 6， 解得 t2 或 t8(舍去 ) 答： 2 s后四边形APQB 的面积是 ABC 面积的 2 3. 三一元二次方程与梯形 (教材 P26 复习题 21 第 12 题) 如图 6，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100 m，下底长 180 m，上下底相距80 m， 在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道 的面积是梯形面积的六分之一甬道的宽应是多少
9、米(结果保留小数点后两位)? 【解析】本题首先找出题中的等量关系即甬道面积是梯形面积的六分之一，根据梯形的面 积公式即可求解 解：设甬道的宽为x 米，依题 意得： 280 x 1 2(100180)x2x 21 6 1 2(100180) 80，化简得 3x2450 x 2 8000， 解得 x16.50，x2143.50(不合题意，舍去)， x6.50. 答：甬道的宽为6.50 米 图 6 图 7 【思想方法】通过设未知数，列方程，利用方程解决图形的面积问题，体现了数形结合思想 和方程思想 如图 7，某小区有一个等腰梯形的场地，上底长120 m，下底长200 m，上下底相 距 80 m，在两腰中点连线处有一条东西方向横向大道，南门有两条纵向大道，宽度与横向 大道等宽，北门有一条纵向大道，宽度为横向大道的2 倍大道的所有面积占梯形面积的 19%，问东西方向大道的宽应是多少米 解：设东西方向大道宽x 米，根据题意，得 2x 80 1 2(120200)x2x x 1 2(120 200) 80 19%，化简得 x 2160 x1 2160，即 (x 152)(x8)0.解得 x152 或 x8， 但 x152 不符合题意，舍去，所以x8. 答：东西方向大道的宽应是8 米
