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1、圆周角定理的综合运用 一巧作辅助线求角度 (教材 P89 习题 24.1 第 7 题) 求证：圆内接平行四边形是矩形 已知：如图1，已知平行四边形ABC D 是 O 的内接四边形 求证：平行四边形ABCD 是矩形 图 1 证明： A C180 (圆内接四边形对角互补) 又 A C(平行四边形对角相等) A C 90 所以圆内接平行四边形是矩形 如图 2， ABC 内接于 O， ODBC 于 D， A50，则 OCD 的度数是 (A) A40B45C50D60 图 2 变形 1 答图 【解析】如图，连接OB， A50， BOC2A100.OB OC， OCD OBC180 BOC 2 40. 如
2、图 3，点 A，B，C，D 在 O 上， O 点在 D 的内部，四边形OABC 为平行四边 形，则 OAD OCD_60 _ 图 3 变形 2 答图 【解析】如图，连接 DO 并延长， 四边形OABC 为平行四边形， B AOC. AOC 2ADC， B2ADC.四边形ABCD 是 O 的内接四边形， B ADC180， 3ADC 180， ADC60， B AOC120. 1 OAD ADO， 2 OCD CDO ， OAD OCD (1 2) (ADO CDO) AOC ADC 120 60 60. 2012 青岛 如图 4， 点 A， B， C 在 O 上， AOC60， 则 ABC 的
3、度数是 _150 _ 【解析】在优弧 ADC 上取点 D，连接 AD，CD， AOC60， ADC1 2AOC30 . ABC ADC 180， ABC 180 ADC 180 30 150 .故答案为 150. 图 4 图 5 如图 5，若 AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， ABD 55，则 BCD 的度数 为(A) A35B 45C55D75 如图 6，A，P，B，C 是半径为8 的 O 上的四点，且满足BAC APC60. (1)求证： ABC 是等边三角形； (2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD. 解： (1)在ABC 中， BAC APC60， 又 APC ABC，
4、ABC60， ACB180 BAC ABC180 60 60 60， ABC 是等边三角形； (2)如图，连接 OB， OC， 则 BOC2BAC120.OBOC， ODBC， OBC OCB 1 2(180 BOC)30.在 Rt BOD 中， ODB90， OBC30， OD 1 2OB 1 284. 图 6 变形 5 答图 二圆周角定理与垂径定理的综合 (教材 P89 习题 24.1 第 5 题) 如图 7， OABC， AOB50，试确定 ADC 的 大小 图 7 解： OABC， AC AB ， ADC 1 2AOB25 . 【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角
5、定理进行角度、弧度转 换，利用垂径定理求解 如图 8， O 的弦 AB 垂直半径OC 于点 D， CBA30， OC33 cm，则弦 AB 的长为 (A) 图 8 A9 cmB33 cm C.9 2 cm D.3 3 2 cm 解： CBA30， AOC2CBA60， ABOC， ADO90， OAD30， OD 1 2OA 1 23 3 3 2 3(cm)， 由勾股定理得：ADOA 2OD24.5 cm， ABOC，OC 过 O， AB2AD9(cm)， 故选 A. 如图 9， O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交 O 于点 E，连接 EC. 若 AB8，CD2，则 EC
6、 的长为 (D) 图 9变形 2 答图 A215 B8 C210 D2 13 【解析】 O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB 8， ACBC 4， 设 O 的半径为 r，则 OCr2， 在 RtAOC 中， AC4，OC r2， OA 2AC2 OC2，即 r242(r 2)2，解得 r5， AE2r10， 连接 BE， AE 是 O 的直径， ABE90， 在 RtABE 中， AE10，AB8， BEAE2AB2102826， 在 RtBCE 中， BE6，BC4， CEBE2BC262422 13. 故选 D. 如图 10， 半圆 O 的直径 AB10， 弦 AC6 cm， AD 平
7、分 BAC， 则 AD 的长为 (A) 图 10变形 3 答图 A45 cm B35 cm C55 cm D4 cm 【解析】连接 OD，OC，作 DEAB 于 E，OFAC 于 F， CAD BAD(角平分线的性质)， CD BD ， DOB OAC2BAD， AOF OED ， OEAF 1 2AC3 cm， 在 RtDOE 中， ， DEOD 2OE24 cm， 在 RtADE 中， ADDE 2AE24 5 cm， 故选 A. 如图 11，AB 是 O 的一条弦，点C 是 O 上一动点，且ACB 30 ，点 E，F 分 别是 AC，BC 的中点，直线EF 与 O 交于 G，H 两点，若
8、 O 的半径为7，则 GEFH 的 最大值为 _10.5_ 图 11变形 4 答图 【解析】如图，当GH 为 O 的直径时， GEFH 有最大值 O 的半径为 7， GH14. 连接 OA， OB. ACB30， AOB2ACB60， OAOB， AOB 为等边三角形， ABOA OB7， 点 E，F 分别是 AC，BC 的中点， EF1 2AB3.5， GEFH GHEF143.510.5. 故答案为10.5. 如图 12，在 O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点P， CAB40， APD65. (1)求 B 的大小； (2)已知 AD6，求圆心O 到 BD 的距离 图 12 变形 5
9、答图 解：(1) APD C CAB， C APD CAB65 40 25. B C 25. (2)如图， 过点 O 作 OEBD 于点 E，则 DEBE.又 AO BO，OE1 2AD 1 26 3.圆 心 O 到 BD 的距离为3. 如图 13 所示， AB 是 O 的一条弦， E 在 O 上，设 O 的半径为4 cm，AB4 3 cm， (1)求圆心 O 到弦 AB 的距离 OD； (2)求 AEB 的度数 解： (1)连接 OA，OB.ODAB， AD 1 2AB2 3 cm. 在 RtODA 中， OA 4 cm， ODOA 2AD2 16 122 (cm)； (2)RtODA 中，
10、 OA4 cm，OD2 cm， OAD30， AOD60 . OAOB，ODAB， AOB2AEB120， AEB 1 2AOB60. 图 13 图 14 如图 14，已知在 O 中，AB4 3，AC 是 O 的直径， ACBD 于 F，A30， 求 BD 及 OF 的长 解： AB43，ACBD 于 F， A30， BF1 2AB 4 3 1 2 2 3，AF AB2BF 2 （43） 2（ 2 3）2 6. AC 是 O 的直径， BD2BF2 2343. 设 OFx，则 OBAFOF6x， 在 RtOBF 中， OB 2BF2OF2，即 (6 x)2(2 3) 2x2，解得 x 2，即
11、OF2. 答： BD 的长是 43，OF 的长是 2. 如图 15，AB 是 O 的直径， AC 是 O 的弦，以 OA 为直径的 D 与 AC 相交于点 E. (1)若 AC16，求 AE 的长 (2)若 C 点在 O 上运动 (不包括A，B 两点 )，则在运动的过程中AC 与 AE 有何特殊的数量 关系？请把你探究得到的结论填写在横线上 _ 图 15 变形 8 答图 解： (1)如图，连接OE， AO 是 D 的直径， OEA90， OEAC.OE 过 O 的圆心 O， AECE 1 2AC 1 2 168. (2)若 C 点在 O 上运动 (不包括 A，B 两点 )，则在运动的过程中AE 1 2AC.
