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1、数学试题（理科） 第 1 页 共 12 页惠州市 2013 届高三第二次调研考试数 学 (理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效
2、。 参考公式：锥体的体积公式 ,其中 是锥体的底面积， 为锥体的高13VShh一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数 ( 为虚数单位） ，则复数 在复平面上所对应的点位于 （ ）1)ziizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2集合 ，若 ，则实数 的值为（ ）4,53,93MmN， MNmA 或 1 B C 或 3 D 1 3. 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则公差 等于（ ）nanS3614adA1 B. 5 C. D. 234. 已知向量 ，且 ，则 等于（ ）cos,2si,b/bt
3、an4()A 3 B 3 C 31 D 315. “ ”是“ ”的（ ）2ab22lglaA充分不必要条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D. 必要不充分条件 6若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（ ）2ypx26xyp数学试题（理科） 第 2 页 共 12 页A2 B 2 C4 D47某工厂从 2004 年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量 y与时间 t的函数图像可能是（ ）8已知函数 ，若有 ，则 的取值范围为（ 2()1,()43xfegx()fagb）A B C D2,1,31,3
4、二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9函数 的定义域为 6()12logfxx10. 的展开式中的常数项为 3211已知正方体 中， 、 分别为1ABCDEF、 的中点，那么异面直线 与 所成角1 A1D的余弦值为_12.如图所示的算法流程图中, 若 则2(),()xfg的值等于 . (3)h13已知变量 满足约束条件 若目标函数 仅在点 处取得最小值, xy，203xy， zyax53则实数 的取值范围为 a（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全
5、答的，只计前一题的得分。4 8yot4 8yot4 8yot4 8yot 开 始输 入 xf()gh=输 出结 束是 否数学试题（理科） 第 3 页 共 12 页B ODAC14 （坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ，它与()4R曲线 （ 为参数）相交于两点 和 ，则 =_.12cosinxayAB15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆 外一点 引圆的切线 和割线 ，OD已知 ， ，圆 的半径为 3，则圆心 到 的距离为 23AD6CC三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证
6、明过程和演算步骤 ）16 （本小题满分12分）已知向量 , ,且 ， 为锐角. sin,comA31mnA（1）求角 的大小； （2）求函数 的值域.()24si()fxxR17 （本题满分 12 分）某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中，选出 3 种商品进行促销活动。（1）试求选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高 180 元，同时允许顾客每购买 1 件促销商品有 3 次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金 100 元，假设顾客每次抽奖时中
7、奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。18.（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 , ， 为 的中点, 1ABC1ABCADAC.12A(1) 求证： 1/平面 1D；(2) 若四棱锥 的体积为 3, BACDC11B1 CBA数学试题（理科） 第 4 页 共 12 页求二面角 的正切值.1CBD19 （本小题满分14分）已知直线 与椭圆 相交于 、 两点， 是线段 上0xy21(0)xyabABMAB的一点， ，且点 在直线 上.AMB:2lx（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线 的对称点在单位圆 上，求椭圆的方程.l 21y20 （本小题满分
8、 14 分）设 为数列 的前 项和，对任意的 ，都有 ( 为正常数)nSnanN(1)nnSma（1）求证：数列 是等比数列；（2）数列 满足 ，求数列 的通项公式；nb112,(2,)nbnb（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前 项和 nnT21 （本小题满分 14 分）已知函数 是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为 3()lnfxaxb(,)ef（ 为自然对数的底数） e（1）求实数 、 的值；（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；kZ()1fxk（3）当 时，证明： ,mnnmm数学试题（理科） 第 5 页 共 12 页惠州市 2013 届高三第二次调研考试数学（理科）参考答
9、案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 BACBD BA1 【解析】1.提示:因为 ,所以 对应的点在复平面的第二象()1zii(1)zii限. 故选 2 【解析】由 可知 或 ,故选 MN39m3A3 【解析】 且 ， ， .故选316()2sa12ad142dC4 【解析】由 ，得 ，即 ，所以 ，/bcosin0tntan()34故选 B5 【解析】注意 的正负号.故选 ,aD6.【解析】椭圆的右焦点为 ， ，即 ，故选(2,0)F2p4D7 【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随 的变大而变小，x后四年
10、年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选 B8.【解析】由题可知 ， ，若有()1xfe22()43()1gxx，则 ，即 ，解得 。故选 ()fagb,21bbA二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只选做一题9 10 11 12 13 0,61239,14 15149 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得数学试题（理科） 第 6 页 共 12 页。 1266000 612loglog6xxxx 10 【解析】 的展开式中的常数项即 。23() 2321()TC11 【解析】连接 ，则 ,所以 与 所成的角即为异面直线所成的
11、角，1,DF/AEDF1设边长为 ，则 ，在三角形 中 .5 543cos212 【解析】 ，由数形结合可知，当 时, 所以有22,()xhx2hx()9h13 【解析】目标函数 可变为直线 ，斜率为 ，仅在点 处取得ayzyaza3,5最小值,只须 114 【解析】直线的普通方程为 ，曲线的普通方程x22(1)4xy22()41AB15 【解析】先用切割线定理求出 的长度,然后距离BC221()5drBC三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 （本小题满分 12分）解：（1）由题意得 2 分3sinco1mA:， 4 分2sin()6Ai()62
12、由 为锐角 ， 得 , 6 分3,63A（2）由（1）可得 7 分1cos所以 9 分()2infxx2siinx213(si)x因为 ，则 ，Rs1,当 时， 有最大值 . 当 时， 有最小值 ， 11 分1sin2x()fx32si1x()fx3数学试题（理科） 第 7 页 共 12 页故所求函数 的值域是 . 12 分()fx3,217 （本小题满分 12 分）解：（1）从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中，选出 3 种商品，一共有种不同的选法，选出的 3 种商品中，没有日用商品的选法有 种，2 分39C 5C所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 4 分39
13、7142P（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量 ，其所有可能的取值为0，100，200，300。 （单元：元） 6 分表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以 ，7 分 31(0)(28P同理可得 ,123 3(0)(),(8PCC 9 分32于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是11 分131()0050888E故促销方案对商场有利。 12 分18 （本小题满分 14 分）（1）证明: 连接 ,设 与 相交于点 ,连接 ,1BC11OD 四边形 是平行四边形,点 为 的中点 . 1BC 为 的中点， 为 的中位线,DAD1A . 2 分1/OB ,11,CBC平 面 平 面 . 4 分1/AD平 面(2)解: 依题意知， ，12 GFEODC1A1B1 CBA数学试题（理科） 第 8 页 共 12 页 , 111,ABCAC平 面 平 面 1,ABAC平 面 平 面
