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1、数学试题（文科） 第 1 页 共 12 页惠州市 2013 届高三第一次调研考试数 学 (文科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
2、 参考公式：锥体的体积公式： 13VSh（ 是锥体的底面积， h是锥体的高） 球体体积公式： 4R球 ( 是半径)一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知集合 1,234A，集合 2,4B，则 AB（）A. ,4 B. , C. 1,3 D.2 i为虚数单位，则复数 i的虚部为（）A B C D 13若 aR，则“ 1”是“ a”的（）条件A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分又不必要4若 p是真命题， q是假命题，则（）A 是真命题 B pq是假命题 C p是真命题 D q是真命题5在 BC中，
3、 abc， ， 分别为角 A， ， 所对边，若 2cosab，则此三角形一定是（）A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形6若函数 3()fxR，则函数 ()yfx在其定义域上是（）数学试题（文科） 第 2 页 共 12 页A单调递减的偶函数 B单调递减的奇函数C单凋递增的偶函数 D单调递增的奇函数7阅读右图 1 所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（） A 3 B C 38 D 123 8已知实数 4,9m构成一个等比数列，则圆锥曲线21xy的离心率为（ ） 630.A7.B 7630.或C 65.或D9.设图 2 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
4、A 94 B 318C 12 D 9210对实数 a和 b，定义运算“ ”： ,1,.ab。设函数21fxx， R若函数 yfxc的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是( )A 1,B 2,1, C ,21,D 2,1二、填空题（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.）（一）必做题（第 11 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答。 ）11若向量 1,a， ,2b，则 ab等于_12已知函数 20()5,xf则 ()f= 13设 x、 y满足条件310yx，则 zxy的最小值是 .开始 1a0?输出 a结束2是否323正视图 侧视图俯视图
5、图 2图 1数学试题（文科） 第 3 页 共 12 页（二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第 14 题的分。 ）14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆 C的极坐标方程为 2cos，则圆 C上点到直线:lcos2in40的最短距离为 。15. (几何证明选讲选做题)如图 3，PAB、PCD 为O 的两条割线，若 PA=5，AB=7 ，CD=11 ， 2AC，则 BD 等于 .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）已知等差数列 na中， 1， 3a（1）求数列 的通项公式；（2）若数列
6、 n的前 k项和 5kS，求 k的值17 （本小题满分 12 分）已知函数 ()si)(0,)fx为偶函数，周期为 2（1）求 的解析式； （2）若 1(,)()323f，求 sin(2)3 的值18(本题满分 14 分) 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名，高二年级学生有 460 名，高三年级学生有 500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级： 1 级（很不满意） ；2 级（不满意） ；3 级（一般） ；4 级（满意） ；5 级（很满意） ，其统计结果如下表（服务满意度为x，价
7、格满意度为 y）.价格满意度人数 yx 1 2 3 4 51 1 1 2 2 02 2 1 3 4 1服务满 3 3 7 8 8 4P A BCDO图 3数学试题（文科） 第 4 页 共 12 页DC1A1B1 CBA4 1 4 6 4 1意度 5 0 1 2 3 1（1）求高二年级共抽取学生人数；（2）求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价格满意度”数据的方差；（3）为提高食堂服务质量，现从 x且 24y的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率.19.（本小题满分 14 分）如图,在三棱柱 1ABC中，侧棱 1A底面 BC,ABD为 的中点, 2, 3.
8、(1)求证： 1/平面 1；(2) 求四棱锥 AC的体积.20 （本小题满分 14 分）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 63，且经过点 31(,)2(1)求椭圆 的方程；(2)过点 (0,2)P的直线交椭圆 C于 A， B两点，求 (AO为原点）面积的最大值21 （本题满分 14 分）已知函数 321()(,)afxxbaR，且其导函数 ()fx的图像过原点.(1)当 a时，求函数 ()f的图像在 3处的切线方程 ;(2)若存在 0x，使得 9x，求 a的最大值；(3)当 时，求函数 ()f的零点个数。数学试题（文科） 第 5 页 共 12 页惠州市 2013 届高三第一次调研考试文
9、科数学参考答案与评分标准一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C A D C B B C D B1 【解析】由交集的定义选 A.2 【解析】 211ii 故选3 【解析】当 a时，有 所以“ a”是“ 1”的充分条件，反之，当 时， ，所以“ ”不是“ ”的必要条件故选 A4 【解析】或（ ）一真必真，且（ ）一假必假，非（ ）真假相反，故选 D5.【解析】在 ABC中，若 2cosabC，则 in2sicoABC，即sin()2sini()0B， 故选6 【解析】 32()3,()yfxxyxyfx在其定义域上
10、单调递减，f则 (f是奇函数，故选 B。7 【解析】第一步： 210a，第二步： 210a，输出 1故选 B 8 【解析】因 4,9m成等比，则 236m当 6时圆锥曲线为椭圆216xy其离心率为 ；当 时圆锥曲线为双曲线216x其离心率为 7 故选 C9 【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积 349+2=18V（ ）。故选 D数学试题（文科） 第 6 页 共 12 页10 【解析】由题设 2,12,xxf或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为 ,1A， 2,B， 1,C，1,2D 从图象中可以看出，直线 yc穿过点 ，点 之间时，直线 yc与图象有且只有两
11、个公共点，同时，直线 穿过点 C，点 D时，直线 与图象有且只有两个公共点，所以实数 c的取值范围是 2,1,故选二.填空题（本大题每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题后的横线上）11. 1； 12. 1； 13. 1； 14. 5.； 15. 6 11 【解析】 ,22ab 12 【解析】因函数 20,()5xf所有 ()(1)ff13 【解析】由题意知当直线 yz经过点 1,0时， z取的最小值 114 【解析】由题意圆 C的直角坐标方程为 2()xy，直线 :l240xy所以圆 上点到直线 :l的最短距离为 5115.【解析】由 PABD得 P又 6PACACDBBD三、解答题：本
12、大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 （本小题满分 12 分）解：（1）设等差数列 na的公差 d，则 1nad，由题设， 312，所以 2na 6 分（2）因为 132352kkakS，所以 2350，解得 7或 数学试题（文科） 第 7 页 共 12 页因为 kN，所以 7k 12 分17 （本小题满分 12 分）解：（1） 2T, 则 1T.()sin)fx. 2 分f是偶函数, ()2kZ, 又 0， 2则 ()cosfx 5 分（2）由已知得 1,(,)332， 5(0,)36则 2sin() 8 分42i()sin()cos()339 12 分18
13、(本题满分 14 分)解：（1）共有 1400 名学生，高二级抽取的人数为 6072314（人）3 分（2） “服务满意度为 3”时的 5 个数据的平均数为 3865，4 分所以方差 2222267864.s7 分（3）符合条件的所有学生共 7 人，其中“服务满意度为 2”的 4 人记为 ,abcd “服务满意度为 1”的 3 人记为 ,xyz. 9 分在这 7 人中抽取 2 人有如下情况： ,abcdxyz,bcdxbzdyz,dxyz共 21 种情况. 11 分其中至少有一人的“服务满意度为 1”的情况有 15 种. 12 分数学试题（文科） 第 8 页 共 12 页EODC1A1B1 CBAEODC1A1B1 CBA所以至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率为 527p
