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1、第一章 插值方法 1.0 插值问题 1.1 拉格朗日插值 1.2 牛顿插值 1.3 等距节点插值 1.4 埃尔米特插值 1.5 三次样条插值 1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值 2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式. 解决方法插值法 1.0 插值问题一、问题提出已知定义于 , ba 上的函数 )(xf 在 1n 个互异节点 ,0 bax nii 处的函数值 niixf 0)( 。 若函数族 中的函数 )(x 满足条件 nixfx ii ,1,0),()( （1）
2、则称 )(x 为 )(xf 在中关于节点 niix 0 的一个插值函数。 )(xf 被插值函数； , ba 插值区间； niix 0 插值节点； 式（1）插值条件. 二、插值问题定义求插值函数(x) 的问题称为插值问题。三、几何意义、内插法、外插法内插 外插niixM 0maxniixm 0min , Mmx, Mmxbutbax 四、多项式插值问题 对于不同的函数族 的选择， 不同的插值问题 为一 三 函数的多项式 三 插值 为一 有 式 ：有 插值； 为一 多项式 ：多项式插值（ 数插值） 特 的 nn xxx ,1span2 P , niRaxaxaxaaxx innn 0,)()( 2
3、210 P 、插值多项式的 在 一 对于多项式插值问题，插值条件（1）等 于 定多项式的 数， 满足 的 方 )()()()(111210210212110200nnnnnnnnxfxfxfxfaaaaxxxxxxxxx 定理1(存在唯一性) 满足插值条件(1) 的不 过 次的插值多项式 在 一的。定 ：多项式插值问题满足的 方 关于多项式的 数0，1，2，n的n1 方 ， 数currency1的“式 (x0,x1,x ) 称为fifl( ) “式。 “式的 求 nijjinn xxxxxV010 )(),( ”于j ，xxj ， 有 xx0，于 (x0,x1,x )0。”() 法则，方 的解
4、 在 一， 而插值多项式 在 一的。 、插值 项 已知函数(x) 在, 上 有1 函数，在（,）上 在m 数。 若 在区间上有 1个 点，则 的m 函数在(,) 内 在一个 点。)()()()()(23012101210xfxfxfxxxxxxfmmmmmmm 插值 项： )()()( xxfxRn ： nixxfxR iii ,2,1,0,0)()()( )()()()()()()()(1011nnnxxxxxxxxxkxxfxR)()()()()( 1 txkttftg n x为 一插值节点 , 对函数 )(xk ； 点x 插值节点 niix 0 互不同 ， 为 的函数 )(tg 在区间
5、, ba 上的 2n 个互异 点：x、 niix 0 )(tg ， )()1( tg n 在 区间 ),( ba 内 在一个 点 )!1()()(0)()()!1()()( )1()1()1()1( nfxkgxkntftg nnnn 定 2 ( 计) )()( xf n 在 , ba 上 , )()1( xf n 在 ),( ba 内 在. )(x 满足插值条件(1)的不 过n次的插值多项式. 则对意 , bax , 在 ),()( bax , )()!1( )()()()( 1)1(xnfxxfxR nnn 立, 式中 )()( 01 inin xxx . 而 )()1( xf n 在区间
6、 ),( ba 有上 1nM , 有 )(!)1()( 11 xnMxR nnn . 1 插值 节点 niix 0 点x间的距有关, 节点距x近,插值 一 。 2 若被插值函数 )(xf 身就不 过 n次的多项式, 则有 )()( xxf 。 3 通过求解 方 插值多项式。 七、插值方法”于插值多项式的 在 一 ， 论何种方法 出的插值多项式， 们均恒等， 而截断 也都同。章我们要讨论的插值方法有：Lg g插值法Nw 插值法等距节点插值公式带 数的插值问题 1.1 拉格朗日插值一、插值基函数1. 定义：若n次多项式l (x)( 0,1, ) 在1个插值节点x0 x1 xn上满足插值条件：),1
7、,0,()(0 )(1)( nkiki kixl ikik 则称这n1个n次多项式l0(x),l1(x),l (x) 为插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。 ：容易验，n次插值基函数的 在插值节点x0,x1,xn上满足插值条件， 而 插值基函数来 插值多项式。),1,0()()()( )()()()(11101110 nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkkkkkkknkkk )()()()(11knknk xxxxxl 2. 插值基函数的 ”于k ，l (x) 0， x0,x1,x 1,x 1,xn为l (x) 的 点， 而 )()()()( 1110 nkkkk xx
8、xxxxxxxxAxl ”l(x )1)()()(11110 nkkkkkkkk xxxxxxxxxxA 若记 ，则有 ， 而 niin xxx01 )()( nkiiikkn xxx,01 )()(3. 插值基函数的 ),1,0,()(0 )(1)( nkiki kixl ikik 1：2：插值基函数l (x)( 0,1, ) 为”插值节点x0,x1,xn 一 定的n次函数。3：基函数 含的基函数个数 插值节点个数同。二、Lg g型插值公式 ni inininiiin xxxxxfxlxfxL0110 )()()()()()()(上式不 过n次的多项式，满足有的插值条件， 而就我们需 的插值
9、多项式，称为Lg g插值多项式。n1 ，有101001011 )( yxxxxyxxxxxLn2 ，有2120210121012002010212 )()()()()()()( yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL L1(x) L2(x) 称为 插值多项式 二次插值多项式，几何意义 表示通过点(x0,y0),(x1,y1) 的一条直 通过点(x0,y0),(x1,y1) ， (x2,y2) 的一条抛物 。类似地写出 n为 值 地插值多项式， n3 ，有32313032102321202310131210132003020103213)()()()()()()()()()(
10、)()()()()()()(yxxxxxx xxxxxxyxxxxxx xxxxxxyxxxxxx xxxxxxyxxxxxx xxxxxxxL)()!1( )()()()( 1)1(xnfxLxfxR nnnn 三、Lg g插值多项式的 项(x) 为定义在, 上的被插值函数，L (x)为(x) 的n次Lg g插值多项式，插值 项为： (x) (x)L (x)定 ： 果 ( )(x) 在区间, 上 ， (n 1)(x) 在(,) 内 在，L (x) 为在节点x0x1x b上满足插值条件的n次Lg g插值多项式，则对一x(,), 插值 项为：中(,) 依赖于x。上式给出的 项通常称为Lg g型
11、项。定 nixLxfxR iniin ,2,1,0,0)()()( )()()()()( 1 xxkxLxfxR nnn )()()()()( 1 txktLtftg nn x为 一插值节点 , 对函数 )(xk ； 点x 插值节点 niix 0 互不同 ， 为的函数 )(tg 在区间 , ba 上的 2n 个互异 点：x、 niix 0 )(tg ， )()1( tg n 在 区间 ),( ba 内 在一个 点 )!1()()(0)()()!1()()( )1()1()1()1( nfxkgxkntftg nnnn ).()()( 101 nn xxxxxxx )(max)!1()()()(
12、 11 xnMxLxfxR nbxannn 一 ， 项表达式中的(,) 的 体数值法知道。但， 果能够求出，则 出插值多项式的截断 限为：1)1( )(max nnbxaMxf由此可以看出，误差大小除了与Mn+1有关外，还与插值节点有密切关系。当给定m个点处的函数值，但仅选用其中n1（n1m）个作为插值条件而求某个点 处函数值时， n1个节点的选取应尽可能接近 ，以使使得所计算的函数值的误差限尽可能小。x x例题已知 3)5.0(,2)0(,1)1(,2)2( ffff , 试选 适的插值节点，通过二次插值多项式计算 )5.0(f 的近似值, 精度尽能高。 解 依据 计式, 选 5.0,0,1 210 xxx 为插值节点 拉格朗日插值基函数为 )5.0(32)5.01)(01( )5.0)(0()(0 xxxxxl )5.0)(1(2)5.00)(10( )5.0)(1()(1 xxxxxl )1(34)05.0)(15.0( )0)(1()(2 xxxxxl 二次插值多项式为 )()()()()()()( 2211002 xlxfxlxfxlxfxL )(
