《1990~2011全国高中数学联赛试题及解析（word版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1990~2011全国高中数学联赛试题及解析（word版）（208页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1990 年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 1 - 1990 年全国高中数学联赛 第一试 (10 月 14 日上午 8001000) 一选择题(本题满分 30 分，每小题 5 分) 1设 ( ， ),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是 4 2 A(cos)cos(sin)cos(cos)sin B(cos)cos(cos)sin (sin)cos C(sin)cos(cos)cos(cos)sin D(cos)sin (cos)cosb0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图 x2 a2 y2 b2 中的( ) (2,-1)
2、O x y (2,1)(2,1) (5 0) y x O (2,1) y x O D. C. B. A. O x y (5 0) (2,1) (2,-1) 二填空题(本题满分 30 分，每小题 5 分) 1设 n 为自然数，a、b 为正实数，且满足 a+b=2，则 +的最小值是 1 1 + an 1 1 + bn 2设 A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当 t 由 15变到 45时，线段 AP 扫过的面积是 3设 n 为自然数，对于任意实数 x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则 n 的最小值是 4对任意正整数 n，连
3、结原点 O 与点 An(n，n+3)，用 f(n)表示线段 OAn上的整点个数(不计端点)，试 求 f(1)+f(2)+f(1990) 5设 n=1990，则 1990 年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 2 - (13C +32C33C +3994C3995C= 1 2n 2 n 4 n 6 n 1998 n 1990 n 68 个女孩与 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和 排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 三(本题满分 20 分) 已知 a，b 均为正整数，且 ab，sin=，(其中 0 )，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切
4、自 2ab a2 + b2 2 然数 n，An均为整数 四n2个正数排成 n 行 n 列 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知 a24=1，a42= ，a43= 1 8 ，求 a11+a22+ann 3 16 五设棱锥 MABCD 的底面为正方形，且 MA=MD，MAAB，如果AMD 的面积为 1，试求能够 放入这个棱锥的最大球的半径 a11 a12 a13 a14 a1n a21 a22 a23 a24 a2n a31 a32 a33 a34 a3n a41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann A C B M D 1990
5、年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 3 - 第二试 (10 月 14 日上午 10301230) 一(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P，设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接 圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4求证 OP、O1O3、O2O4三直线共点 二(本题满分 35 分) 设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100 E 且 G 具有下列两条性质： 对任何 1ij100，恒有 ai+aj201； ai=10080 100 i = 1 试证明：G 中的奇数的个数是 4 的倍数且 G 中所有数字的平方和为一个定数 三
6、(本题满分 35 分) 某市有 n 所中学，第 i 所中学派出 Ci名代表(1Ci39，1in)来到体育馆观看球赛，全部学生总数 为Ci=1990看台上每一横排有 199 个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要 n i = 1 安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下 O O A B C D P 1 O O O 2 3 4 F 1990 年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 4 - 1990 年全国高中数学联赛(解答) 第一试 一选择题(本题满分 30 分，每小题 5 分) 1设 ( ， ),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是 4 2 A(cos)c
7、os(sin)cos(cos)sin B(cos)cos(cos)sin (sin)cos C(sin)cos(cos)cos(cos)sin D(cos)sin (cos)cos(sin)cos (1990 年全国高中数学联赛) 解：( ， )0cossin1， 4 2 (cos)cos(sin)cos；(cos)sin0但 x3+ y3+ 3=xy，等号当且仅当 x3= y3= 时，即 x=，y=时成 1 3 1 9 1 3 1 9r() 1 3 1 9 立故选 B 5设非零复数 x、y 满足 x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( ) ( x x + y) 1990 ( y x + y
8、) 1990 A21989 B1 C1 D以上答案都不对 解： = 或 2，其中 =cos120+isin1201+2=0且 3=1 x y 若 =，则得()1990+()1990=1若 =2，则得()1990+()1990=1选 B x y 1 + 1 + 1 x y 2 1 + 2 1 2 + 1 6已知椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图 x2 a2 y2 b2 中的( ) E F D I MN F1F2 P Ox y 1990 年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 5 - (2,-1) O x y (2,1)(2,1) (5 0) y
9、 x O (2,1) y x O D. C. B. A. O x y (5 0) (2,1) (2,-1) 解：+=1，由 a2b2，故得1+=，1b+=15故选 C 4 a2 1 b2 1 b2 4 b2 1 b2 5 b25 4 a2 1 b2 5 a2 二填空题(本题满分 30 分，每小题 5 分) 1设 n 为自然数，a、b 为正实数，且满足 a+b=2，则 +的最小值是 1 1 + an 1 1 + bn 解：ab()2=1，从而 anbn1，故 + = 1等号当且仅当 a+b 2 1 1 + an 1 1 + bn 1 + an + 1 + bn 1 + an + bn + anb
10、n a=b=1 时成立即所求最小值=1 2设 A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当 t 由 15变到 45时，线段 AP 扫过的面积是 解：点 P 在单位圆上，sin(2t60)=cos(1502t)，cos(2t60)=sin(150 2t).当 t 由 15变到 45时，点 P 沿单位圆从( ，)运动到( ,)线段 AP 1 2 3 2 1 2 3 2 扫过的面积=扇形面积= 1 6 3设 n 为自然数，对于任意实数 x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成 立，则 n 的最小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+
11、z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅 当 x=y=z 时成立故 n=3 4对任意正整数 n，连结原点 O 与点 An(n，n+3)，用 f(n)表示线段 OAn上的整点个数(不计端点)，试 求 f(1)+f(2)+f(1990) 解 线段 OAn的方程为 y=x(0 xn)，故 f(n)等于该线段内的格点数 n + 3 n 若 n=3k(kN+)，则得 y=x (0 xn)(kN*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时 f(n) k + 1 k =2； 若 n=3k1(kN
12、+)时，则由于 n 与 n+3 互质，故 OAn内没有格点，此时 f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=1326 1990 3 5设 n=1990，则 (13C +32C33C +3994C3995C= 1 2n 2 n 4 n 6 n 1998 n 1990 n 解：取( +i)1990展开的实部即为此式而( +i)1990= +i故原式= 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 68 个女孩与 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和 排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，
13、共 8 组，与余下 9 个男孩进行排列，某个女孩始终站第一 x O y 1990 年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 6 - 个位子，其余 7 组在 8+91 个位子中选择 7 个位子，得 C=C种选法 7 8 + 91 7 16 7 个女孩可任意换位，25 个男孩也可任意换位，故共得 C7!25!种排列方法 7 16 三(本题满分 20 分) 已知 a，b 均为正整数，且 ab，sin=，(其中 01 QH MQ AE MA MQAE MA 1 2 2 10 2 5 5 2 即 O 与平面 MAB 的距离r，同理 O 与平面 MCD 的距离r故球 O 是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径=1
14、2 H D E F M O Q P R B C A 1990 年全国高中数学联赛 冯惠愚 - 8 - 第二试 (10 月 14 日上午 10301230) 一(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P，设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接 圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4求证 OP、O1O3、O2O4三直线共点 证明 O 为ABC 的外心， OA=OB O1为PAB 的外心，O1A=O1B OO1AB 作PCD 的外接圆O3，延长 PO3与所作圆交于点 E，并与 AB 交于点 F，连 DE，则1=2=3，EPD=BPF， PF
15、B=EDP=90 PO3AB，即 OO1PO3 同理，OO3PO1即 OO1PO3是平行四边形 O1O3与 PO 互相平分，即 O1O3过 PO 的中点 同理，O2O4过 PO 中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点 二(本题满分 35 分) 设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100 E 且 G 具有下列两条性质： 对任何 1i395，故每排至少可坐 5 所学校的学生 1990=19910，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在 10 排就够了 现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接 下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行这样一个空位都不留，则坐 10 排，这些学生 就全部坐完这时，有些学校的学生
