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1、华中师范大学微分几何试题答案(06-09) 华中师范大学 2004 2005 学年第二学期 期末考试试卷（A卷）答案 课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 周振荣 一、填空题：（共5题，每题2分，共10分） 1曲线的伏雷内公式为 ?k? ? ?k? ? 2设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?rv|3曲面的高斯方程为 Rmijk?LmkLij?LmjLik ?Lij?u k ? 4曲面的科达齐方程为 ? ?Lik?u kl j ? ?(? l lik Llj?ij Llk) ?gij?u i l 5第二类克氏符号?ij? l ? l 12 g( ?gil?u j ?
2、 ?gjl?u i ?) 1圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平 ? 二、计算题：（共3题， 70分） 面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分） 解：r(0)?1,0,0,r?(0)?0,1,1,r?(0)?1,0,0，所以 X?1 0Y?01Z?01?切线：?，即?X?1?0 ?Y?Z?0 法平面：(X?1)?0?(Y?0)?1?(Z?0)?1?0，即Y?Z?0 X?1Y 1 0Z1?0，即?Y?Z?0 0密切平面：0?1 r(t)?cots,stint?,r?,t?()?tsin t, ?r?(t)?cost,?sint,0
3、,r?(t)?sint,?cost,0。 |r?|?r,?r?sitn?,?1? |ctos,r,r2 ?|r?r?|1 k?3? |r?|2 ?)(r?,r?,r1 ?2? (r?r?)2 2计算抛物面z?x2?y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分） 解： ?22r?x,y,x?y，rx?1,0,2x,ry?0,1,2y， ? rxx?0,0,2,rxy?0,0,0,ryy?0,0,2 ?r?ry?xn?|rx?ry|所以有 ?2? 222E?rx?1?4x,F?rxry?4xy,G?ry?1?4y ?L?rxxn?22? ?M?rxyn?0，N?ryyn?
4、I?(1?4x)dx?8xydxdy?(1?4y)dy 22 II?LN?M EG?F22?22 K?4(1?4x?4y)222 H?LG?2MF?NE 2(EG?F)2?2?4x?4y22223/2(1?4x?4y) 在脐点有II?I，由此得x?y?0，即唯一的脐点是原点。 三、证明题：（共1题， 10分）若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。 证明：取渐进网为曲纹坐标网， 则v曲线与u曲线的夹角为常数?， 且v曲线方向的法曲率为零。 22根据欧拉公式有k1cos?k2sin?0 ?k1 k2?sin?cos?22 四、应用题：（共1题， 10分）用高斯-波涅定理证明极小曲面上不
5、存在简单闭测地线。 解：?k1?k2?0 ?K?k1k2?0 由于在测地线上kg?0 由高斯-波涅公式有 ?Kd? ?2?0。 矛盾 华中师范大学 2005 2006 学年第二学期 期末考试试卷（A卷） 课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 周振荣 一、叙述题：（共4题，每题5分，共10分） 1高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或 K?R1212/g k 2高斯-波涅公式：?Kd? G ? ?G g ds? ?(? i?1 ?i)?2?,其中?i是?G的第i个内角的 角度，?i是外角的角度 二、填空题：（共5空，每空6分，共30分） ttt 3设有曲线x?ecost,y? esi
6、nt,z?e，当 t?0时的切线方程为x?1 ?y?z?1。 4设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则 |r u?r v| 5曲线x?tsint,y?tcost,z?te在原点的切向量为?(0, t 2 2 ，主法向量为 ?3 ,? 6 6 )、副法向量为?3 , 3 ? 3 。 三、计算题：（共2题，每题15分，共30分） 6圆柱螺线的参数表示为r?(acost,asint,bt)。计算它的曲率和挠率。 解 r?(? asint,acost,b)， r?(?acost,?asint,0)， r ?(asint,?acost,0)，|r?|?r?r?(absint,?abcost,a)， 2
7、|r?r?|? 所以有 ? aa?b22，?ba?b22 7计算正螺面r?(ucosv,usinv,av)的高斯曲率、平均曲率。 解 ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,a)， ruu?(0,0,0)，ruv?(?sinv,cosv,0)，rvv?(?ucosv,?usinv,0)， i ru?rv?cosv ?usinvjsinvucosvk0?( asinv,?acosv,u)， a n?ru?rv |ru?rv|?， E?ru?ru?1， F?ru?rv?0，G?rv?rv?a?u， L?ruu?n?0，M?ruv?n?22，N?rvv?n? 0， K?L
8、N?M EG?F22?a2222(a?u)， 1EN?2FM?GL1H?22EG?F21?(a?u)?0?0 8求证 四、证明题：（共2题，每题15分，共30分） （1）如果测地线是渐近线，则它必定是直线。 （2）如果测地线是曲率线，则它必定是平面曲线。 证明 （1）由?n?g，如果曲线是测地线（?g?0）且是渐近线（?n?0），则?0，所以曲线是直线。 ?。由于曲线是测地线，有?n。综合这两个等（2）由伏雷内公式有222 ?。因为曲线是曲率线，所以是Weingarten变换W的特征向量，即式有?n W?，其中?是主曲率。再由Weingarten变换的定义 ?，所以?，?0。 ?rvv?)?n
9、uu?nvv?nW?W(ruu 9证明球面r?(acosucosv,acosusinv,asinu)上曲线的测地曲率为?g?d?ds?sinudv ds，其中?是曲线与球面上经线（u-曲线）的夹角。 F?0，证明 因为经线是u-曲线，所以? 是曲线与u-曲线的夹角。直接计算得E?a2， G?acosu。 22 因为 dr ds?ru |ru|cos? d r dsrv|rv|sin? dvdsr?r?， 另一方面，由链式法则有?rududs?rv。比较这两式得 sin ?，cos?。 代入刘维尔公式得 ?g? d?ds?E?G?d?ds?sinudvds 华中师范大学 2006 2007 学年
10、第二学期 期末考试试卷（A卷）答案 课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 郭驼英、周振 荣 一、简述题：（共3题，每题5分，共15分） 1 答 由第一基本形式决定的量叫内蕴量。如高斯曲率、曲面区域的面积。 2请叙述曲面的基本定理 答 给定两个二次型I? ? i,j gijdudu和II? ij ? i,j ij Lijdudu，其中I?0。如果gij与Lij满足 高斯、科达齐方程，则存在曲面S:r?r(u,v) ，使得第一基本形式是I，第二基本形式是II；如果忽略空间的位置差别，这样的曲面是唯一的。 3第二基本形式II?dr?dn吗？为什么？ 2 答 II?dr?dn。这是
11、因为dr?n?0，两边微分得dr?n?dr?dn?0。再由第二基本形 式的定义即得。 二、填空题：（共4空，每空5分，共20分） ttt 4设有曲线x?ecost,y?esint,z?e，则当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1。 222 5设曲面S:r?r(u,v)的第一基本形式为I?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从 （这里sinht?v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。 e?e2 t?t ） 6设曲面S:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为E?G?1,F?0，第二基本量为 a?4b5 ，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?L?a,M?0,
12、N?b 。 7设曲面S:r?r(u,v)在某点处的第二基本量为L?1,M?0,N?1，则曲面在该点的渐近方向为(d)?(1:?1)。 三、计算题：（共3题，每题15分，共45分） e?e2 t ?t 8求曲线r(t)?(acosht,asinht,at)的曲率和挠率，其中cosht? t ?t ， sinht? e?e2 。 r?r?r? 3 解 由一般参数的曲率公式?(t)?和挠率公式?(t)? (r?,r?,r?)r?r? 2 以及 r?(t)?(asinht,acosht,a)r?(t)?(acosht,a sinht,0) r?(t) ?(asinht,acosht,0) 有 |r?|? cosht， cosht， 22 2
