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1、第16章 分式16.1.1 分式的概念教学目标:1、知识与技能:经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式的意义。2、过程与方法:使学生能正确地判断一个代数式是否是分式,能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义。3、情感态度与价值观:渗透数学中的类比,分类等数学思想。教学重点:探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。教学难点:能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。教学过程:一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_米;(2)面积为S平方米的长方形一边长a米,则它的另一边长为_米;(3)一箱苹果售价p元,总重m千克,箱重n千克,则每千克苹果的售价是_元
2、;二、概括:形如(A、B是整式,且B中含有字母,B0)的式子,叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.整式和分式统称有理式, 即有理式整式,分式.三、例题:例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式?(1); (2); (3); (4).解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3).注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式中,a0;在分式中,mn.例2 当取什么值时,下列分式有意义?(1); (2).分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零.解 (1)分母0,即1.所以,当1时,分式有意义.(2)分母20,即-.所以,当
3、-时,分式有意义.四、练习:P5习题17.1第3题(1)(3)1判断下列各式哪些是整式,哪些是分式?9x+4, , , , ,2. 当x取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3)3. 当x为何值时,分式的值为0?(1) (2) (3) 五、小结:什么是分式?什么是有理式?六、作业:P5习题17.1第1、2题,第3题(2)(4)七、教学反思:通过分式概念的教学,让学生懂得了什么时分式,知道了分式与整式的区别,了解了分式成立的条件,为以后的学习打好了基础。16.1.2 分式的基本性质教学目标:1、知识与技能:掌握分式的基本性质,掌握分式约分方法,熟练进行约分并了解最简分式的意义。2、过程与
4、方法:使学生理解分式通分的意义,掌握分式通分的方法及步骤。3、情感态度与价值观:能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的性质,渗透数学中的类比,分类等数学思想。教学重点:让学生知道约分、通分的依据和作用,学会分式约分与通分的方法。教学难点:1、分子、分母是多项式的分式约分;2、几个分式最简公分母的确定。教学过程:一、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是: ( 其中M是不等于零的整式)。与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行约分和通分.二、例3约分(1);(2)分析 分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去.为此,首先要找出分子与
5、分母的公因式.解(1). (2).约分后,分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.三、练习:P5 练习 第1题:约分(1)(3)四、例4通分(1),;(2),; (3),解(1)与的最简公分母为a2b2,所以, .(2)与的最简公分母为(x-y)(x+y),即x2y2,所以, .请同学们根据这两小题的解法,完成第(3)小题。五、练习P5 练习 第2题:通分六、作业:P5练习 1约分:第(2)(4)题,习题17.1第4题七、课后反思:(1)请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质;(2)分式的约分运算,用到了哪些知识?让学生发表,互相补充,归结为:因式分解;分式基本性质;分
6、式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“”。(3)把几个异分母的分式,分别化成与原来分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。分式通分,是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式,根据分式基本性质,通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”,才能化成同一分母。确定公分母的方法,通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母。16.2 分式的运算16.2.1 分式的乘除法教学目标:1、知识与技能:让学生通过实践总结分式的乘除法,并能较熟练地进行式的乘除法运算。2、过程与方法:使学生理解分
7、式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算3、情感态度与价值观:引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力教学重点:分式的乘除法、乘方运算教学难点:分式的乘除法、混合运算,以及分式乘法,除法、乘方运算中符号的确定。教学过程:一、复习与情境导入1、(1) :什么叫做分式的约分?约分的根据是什么?(2):下列各式是否正确?为什么?回忆:如何计算、?从中可以得到什么启示。2、尝试探究:计算:(1);(2).概括:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简.分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与
8、被除式相乘.(用式子表示如右图所示)二、例题:例1计算:(1);(2).解(1)=. (2)=.例2计算:.解原式.三、练习:P7 第1题四、思考怎样进行分式的乘方呢?试计算:(1)()3 (2)()k (k是正整数)(1)()3 =_;(2)()k =_.仔细观察所得的结果,试总结出分式乘方的法则.五、作业:P9习题19.2第1题 P7练习:第2题:计算六、课后反思:1、怎样进行分式的乘除法?2、怎样进行分式的乘方? 3、分式的乘除法是基本计算,学生务必重点掌握,为以后的学习打好基础。16.2.2 分式的加减法教学目标:1、知识与技能:使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,
9、异分母分式的加减运算。2、过程与方法:通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分,培养学生分式运算的能力。3、情感态度与价值观:渗透类比、化归数学思想方法,培养学生的能力。教学重点:让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。教学难点:分式的分子是多项式的分式减法的符号法则,去括号法则应用。教学过程:一、实践与探索1、回忆:同分母的分数的加减法法则:同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减。回忆:如何计算、,从中可以得到什么启示?2、试一试:计算:(1);(2)3、总结一下怎样进行分式的加减法?概括:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母的
10、分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.二、例题1、例3计算:2、例4 计算:.分析 这里两个加项的分母不同,要先通分.为此,先找出它们的最简公分母.注意到=,所以最简公分母是解 三、练习:P9第1题(1)(3)、第2题(1)(3)四、作业:P9习题17.2第2、3、4题五、课后反思:1、同分母分式的加减法:类似于同分母的分数的加减法;2、异分母分式的加减法步骤:. 正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母为底的幂的因式都要取;(3)相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。. 准确地得出各分式的分子、分
11、母应乘的因式。. 用公分母通分后,进行同分母分式的加减运算。. 公分母保持积的形式,将各分子展开。. 将得到的结果化成最简分式(整式)。16.3 可化为一元一次方程的分式方程(1)教学目标:1、知识与技能:使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2、过程与方法:使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.3、情感态度与价值观:使学生领会“ 转化”的思想方法,认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解;培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力。教学重点:使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分
12、式方程.教学难点:使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.教学过程:一、问题情境导入轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x千米/时,根据题意,得.(1)概括:方程(1)中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.思考:怎样解分式方程呢?有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢?试动手解一解方程(1).方程(1)可以解答如下:方程两边同乘以(x+3)(x-3),约去分母,得80(x-3)=60(x+3).解这个整式方程
13、,得x=21.所以轮船在静水中的速度为21千米/时.概括:上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.二、例题:1、例1解方程:.解方程两边同乘以(x2-1),约去分母,得x+1=2.解这个整式方程,得x=1.解到这儿,我们能不能说x=1就是原分式方程的解(或根)呢?细心的同学可能会发现,当x=1时,原分式方程左边和右边的分母(x1)与(x21)都是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此,x=1不是原分式方程的解,应当舍去.所以原分式方程无解.我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边
14、同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解分式方程时必须进行检验.2、例2解方程:.解方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得100(x-7)=30x.解这个整式方程,得x=10.检验:把x=10代入x(x-7),得10(10-7)0所以,x=10是原方程的解.三、练习:P14第1题四、作业:P14 习题17.3第1题(1)(2)、第2题五、课后反思:、什么是分式方程?举例说明;、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程解这个整式方程.验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根是原方程的增根,必须舍去、解分式方程为什么要进行验根?怎样进行验根?