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1、小题强化训练 一、填空题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分 1.复数 zai(a R，i 是虚数单位 )，若 z 2 是实数，则实数a 的值为 _ 2.袋中共有大小相同的4 只小球，编号分别为1，2，3，4.现从中任取2 只小球，则取出的2 只小球的编号之和是奇数的概率为_. 3.已知双曲线C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，且它的一个 焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 _ 4.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为_ 5.已知 cos( 6) sin 4 3 5 ，则 sin( 7 6 )_ 6.已知函数f
2、(x) x2sin（x 3）， x0， x2 cos（x ）， x 0， 0，2 )是奇函数，则 _ 7.已知 ABC 是边长为2 3的正三角形， PQ 为 ABC 外接圆 O 的一条直径，M 为ABC 边 上的动点，则 PM MQ 的最大值是 _ 8.已知数列 an 满足 an1an4n3(n N*) 若对任意nN *， 都有 a2 na2n1 20 n15 成立， 则 a1的取值范围是 _ 二、解答题：本大题共4 小题，共60 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 9.(本小题满分14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 (ac)(sinAsinC
3、)(b3c)sinB. (1)求角 A； (2)若 f(x)cos 2(xA)sin2(xA)，求 f(x)的单调递增区间 10.(本小题满分14 分) 已知圆 O：x2y24 与 x 轴负半轴的交点为A，点 P 在直线 l：3xya0 上，过点P 作圆 O 的切线，切点为T. (1)若 a8，切点 T(3， 1)，求直线AP 的方程； (2)若 PA2PT，求实数a 的取值范围 11.(本小题满分16 分) 如图，某工厂两幢平行厂房间距为50m，沿前后墙边均有5m 的绿化带，现在绿化带之间空 地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为 3m，水池一组池壁与厂房平 行如果池底
4、总造价为c 元，垂直于厂房的池壁每1m2的造价为a 元，平行于厂房的池壁每 1m2的造价为 b 元，设该贮水池的底面垂直于厂房的一边的长为x(m) (1)求建造该长方体贮水池总造价y 的函数关系，并写出函数的定义域； (2)试问：怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价 12.(本小题满分16 分) 已知函数f(x)ex，g(x)axb，a， bR. (1)若 g(1)0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a 的值； (2)若不等式f(x)x2m 对任意 x(0， ) 恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)若对任意实数a，函数 F(x)f(x)g(x)在(0，
5、) 上总有零点，求实数b 的取值范围 小题强化训练 1.0解析： z2(ai)2 a212ai 是实数，则 a0. 2.2 3 解析： 从 4 只小球中任取2 只小球共有6 种取法，其中2 只小球的编号之和是奇数的 有 4 种，则所求概率为 4 6 2 3. 3.x 2 5 y2 201 解析：由双曲线的渐近线方程y b ax 可知 b2a.又由题意 c5， 所以 a5， b2 5，所以双曲线C 的方程为 x2 5 y2 201. 4.4 3 解析： 因为正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，所以由正四棱锥的性质可得高h （3） 2（ 2） 21，所以该正四棱锥的体积 V1 3 2 2 14 3
6、. 5. 4 5 解析： 由 cos 6 sin 43 5 可得 3 2 cos 1 2sin sin 43 5 ，即 3 2sin 3 2 cos 4 3 5 ，所以3sin 6 4 3 5 ，sin 6 4 5，所以 sin 7 6 sin 6 4 5. 6.7 6 解析： 因为函数f(x)是奇函数，所以f( x) f(x)当 x0 时， x0，所以 x2 cos(x ) x2sin x 3 ，即 cos(x ) sin(x 3)，即 cos(x ) cos x 6 ， 所以 cos(x )cos x 7 6 .因为 0， 2 )，所以 7 6 . 7.3解析： 如图，以边AB 所在的直线
7、为x 轴，以 AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐 标系因为正三角形ABC 的边长为23，所以 A(3，0)，B(3，0)，C(0， 3)，P(0， 1)，Q(0，3)当点 M 在边 AB 上时，设点M(x0，0)，则3 x0 3，PM MQ x2 033 ， 此时 PM MQ 的最大值是3； 当点 M 在边 BC 上时，直线 BC 的方程为3xy30.设点 M(x0， 33x0)，0 x0 3，PM MQ 4x204 3x0，此时， 当 x0 3 2 时，PM MQ 取得最大值是3； 当点 M 在边 AC 上时，直线AC 的方程为3xy 30.设点 M(x0，3 3x0)，3 x00
8、， PM MQ 4x 2 043x0，此时， 当 x0 3 2 时，PM MQ 取得最大值3.综上可得 PM MQ 的最 大值是 3. 8.(， 42， ) 解析： an1an4n 3(nN *)， an2an 14n 1. 两式相减，得an2an4. 当 n 为奇数时，令n 2k1(kN * )， 则有 a2k1a2k14. ana2k1a1(k1) 42na12. 又 an1an4n3， an1 2na11， 则 a2 na2n1 20 n15， 即(2na12)2(2na1 1)2 20 n15. 整理，得a2 1a1 4(n2)26. n 为奇数，4(n2)262 ， a2 1 a12
9、 ，解得 a1 1 或 a12 ； 当 n 为偶数时，令n 2k(kN*)，则 a2k2a2k4. 由 a2a11，得 a21a1， ana2ka2(k1) 42na1 3. 由 an1an4n3，得 an12na1， 则 a2 na2n1 20 n15， 即(2na13)2(2na1)2 20 n 15. 整理，得a2 13a1 4(n2)24. 而 4(n2)244 ， a2 1 3a14 ，解得 a1 4 或 a11 . 综上所述，联立，解得a1的取值范围是 a1 4 或 a1 2. 9.解： (1)由(ac)(sinAsinC)(b3c)sinB. 及 a sin A b sin B
10、c sin C，得 (ac)(ac)(b3c)b，即 a2b2c2 3bc.(3 分) 由余弦定理，得cosA 3 2 .(5 分) 由 0A ，得 A 6.(7 分 ) (2)f(x)cos2(xA)sin2(xA) cos2x 6 sin2x 6 (10 分) 1cos 2x 3 2 1cos 2x 3 2 1 2cos2x.(12 分) 令 2k 2 x2 2k ， kZ， 得 2k x k ，k Z. 则 f(x)的单调递增区间为 2k ， k，kZ.(14 分) 10.解： (1)由题意，直线PT 与圆 O 相切于点 T，则 OTPT，又切点 T 的坐标为 (3， 1)， 所以 kO
11、T 3 3 ，kPT 1 kOT 3，(2 分) 故直线 PT 的方程为y13(x3)，即3xy40. 联立直线l 和直线 PT，得 3xy 40， 3xy 80， 解得 x 2 3， y 2， 即 P(23，2)，(4 分) 所以直线 AP 的斜率为k 20 232 1 31 31 2 ， 故直线 AP 的方程为y 31 2 (x2)，即 (31)x2y2(31)0， 即 x(31)y20.(7 分) (2)设 P(x，y)，由 PA2PT，可得 (x2)2 y2 4(x2 y2 4)， 即 3x23y24x200， 即满足 PA2PT 的点 P 的轨迹是一个圆x 2 3 2 y264 9
12、，(10 分) 所以问题可转化为直线3xya0 与圆 x2 3 2 y2 64 9 有公共点， (12 分) 所以 d |3 2 3 a| （3） 21 8 3，即 | 2 3 3 a| 16 3 ， 解得 162 3 3 a 1623 3 . 故实数 a 的取值范围是 1623 3 ， 1623 3 .(14 分) 11.解：(1)由题意， 贮水池的底面垂直于厂房的一边长为xm，则平行于厂房的一边长为 4 800 3x m,即 1 600 x m， 所以总造价yc a 2 3xb 2 3 1 600 x ， 即 yc6 ax1 600b x ，x(0，40 (6 分) (2)因为 a0，b0
13、， 所以 ax 1 600b x 2ax 1 600b x 80ab. 当且仅当a x1 600b x ，即 x40 b a时取等号 若 b a，则 40 b a(0，40，当 x40 b a时， y minc 480 ab；(10 分) 若 ba，则当 x(0，40时， y 6a 1 600b x2 6 ax21 600b x2 a 时，水池设计成底面边长为40m 的正方形时，最低造价为(c240a240b)元 (16 分) 12.解： (1)由 g(1)0 知 g(x)的图象过点 (1，0) 设切点坐标为T(x0， y0)，由 f( x)e x，得切线方程是 yex0ex0(xx0) 此直
14、线过点 (1，0)，故 0 ex0ex0(1x0)，解得 x00， 所以 a f(0) 1.(4 分) (2)由题意，得mexx2，x(0， ) 恒成立 令 m(x)exx2，x(0， ) ，则 m(x)ex2x. 令 n(x)m(x)ex2x，则 n(x)ex2， 故当 x (0， ln2)时， n(x)0，n(x)单调递增， 从而 n(x)在(0， ) 上有最小值n(ln2) 22ln20，所以 m(x)在(0， ) 上单调递增，所以 m m(0)，即 m 1. 故实数 m 的取值范围是( ，1.(8 分) (3)若 a0，F(x)f(x)g(x)e xaxb 在(0， ) 上单调递增，
15、故 F(x)f(x) g(x)在 (0， ) 上总有零点的必要条件是F(0)1.(10 分) 以下证明当b1 时， F(x)f(x) g(x)在 (0， ) 上总有零点 若 a0，由于F(0)1b0，且 F(x)在(0， ) 上 连续，故 F(x)在 0， b a 上必有零点 .(12 分) 若 a0 ，F(0)1bx21x2 在 x (0， ) 上恒成立， 取 x0ab， 则 F(x0)F(ab)ea ba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)0. 由于 F(0)1b0，且 F(x)在(0， ) 上连续， 故 F(x)在(0，ab)上必有零点， 综上，实数b 的取值范围是(1， ).(16 分)
