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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 2019 年高考数学模拟试卷（文科） 一.选择题： 1若全集 U=0，1，2，3且?UA=2，则集合 A 的真子集共有 （） A3 个B5 个C7 个D8 个 2甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平 均成绩和方差如下表： 甲乙丙丁 平均成绩86 89 89 85 方差 S 2 2.1 3.5 2.1 5.6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是 （） A甲 B乙 C丙 D丁 3在极坐标系中，点（，）到直线cos sin 1=0 的距离等 于（） A B CD2 4 若 a， b 表示直线，表示平面，且 b? ，
2、则“ ab”是“a”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=（bc， cosC）， n=（a，cosA），mn，则 cosA 的值等于（） A B C D 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 6某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为 2，则该几何体的体积为（） ABCD 7设不等式组表示的平面区域为D若圆 C： （x+1） 2+（y+1） 2=r2（r0）不经过区域 D 上的点，则 r 的取值范围是（） A2，2 B（ 2，3 C（3，2 D （0， 2） （2，
3、 +） 8已知，把数列 an的各项排列成如图的三角形状，记 A （m， n）表示第 m 行的第 n 个数，则 A（10，12）=（） ABCD 9P是ABC所在平面上的一点，且满足，若ABC的面 积为 1，则 PAB的面积为（） ABCD 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 10如图所示， fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在 0，1上的四个函数， 其中满足性质： “对 0，1中任意的 x1和 x2，任意0.1，f x1+（1） x2 f（x1）+（1） f（x2）恒成立”的只有（） Af1（x），f3（x）Bf2（x）Cf2（x）， f3（x）Df4（x） 二、填空题 11已知复数
4、 z=（2+i）（xi）为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实 数 x 的值为 12某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调 查，将 840 人按 1，2，840 随机编号，则抽取的42 人中，编号落 入区间 481，720的人数为 13若某程序框图如图所示，则运行结果为 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 14已知两点 A（1，0）， B（b，0），若抛物线y 2=4x 上存在点 C， 使得 ABC为正三角形，则b= 15已知点 A（3，0）和圆 O：x 2+y2=9，AB 是圆 O 的直径， M 和 N 是 AB 的三等分点， P （异于 A，B）是圆 O 上
5、的动点， PDAB 于 D， ，直线 PA 与 BE交于 C，则当= 时， |CM|+|CN|为定值 三解答题：（共 75 分，前 3 题每小题 12 分，后 3 题每小题 12 分） 16ABC 的外接圆半径，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c， 且 （1）求角 B和边长 b； （2）求 SABC的最大值及取得最大值时的a，c 的值，并判断此时三角 形的形状 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 17某校高三年级在5 月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表 所示： 0，400）400， 480） 480， 550） 550， 750） 文科考生 67 35 19 6 理科考生 53
6、 x y z 已知用分层抽样方法在不低于550 分的考生中随机抽取5 名考生进行 质量分析，其中文科考生抽取了2 名 （）求 z 的值； （）如图是文科不低于550 分的 6 名学生的语文成绩的茎叶图，计 算这 6 名考生的语文成绩的方差； （）已知该校不低于480 分的文科理科考生人数之比为1：2，不低 于 400 分的文科理科考生人数之比为2：5，求 x、y 的值 18如图，圆柱OO1的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO1的 截面，点 P在上且=，Q 为 PD 上任意一点 （）求证： AQPB； （）若直线PD 与面 ABCD所成的角为 30，求圆柱OO1的体积 美好的未来不是等待，
7、而是孜孜不倦的攀登。 19 已知各项均为正数的数列an满足 an+2+2=4an+1an（nN *） ， 且 a1=1，a2=4 （）证明：数列 是等差数列； （）设 bn=的前项 n 和为 Sn，求证： Sn1 20如图，已知抛物线C1：x 2=2py 的焦点在抛物线 C2：y= x 2+1 上， 点 P 是抛物线 C1上的动点 （）求抛物线C1的方程及其准线方程； （）过点 P作抛物线 C2的两条切线， M、N 分别为两个切点，设点 P 到直线 MN 的距离为 d，求 d 的最小值 21已知 aR，函数 f（x）=lnxa（x1） （）若 a=，求函数 y=|f（x）|的极值点； （）若不
8、等式 f （x） 恒成立，求 a 的取值范围 （e 为自然对数的底数） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 参考答案与试题解析 一.选择题： 1若全集 U=0，1，2，3且?UA=2，则集合 A 的真子集共有 （） A3 个B5 个C7 个D8 个 【考点】 子集与真子集 【专题】 计算题 【分析】 利用集合中含n 个元素，其真子集的个数为2 n1 个，求出 集合的真子集的个数 【解答】 解： U=0，1，2，3且 CUA=2， A=0，1，3 集合 A 的真子集共有2 31=7 故选 C 【点评】 求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若
9、一个集 合含 n 个元素，其子集的个数为2 n，真子集的个数为 2 n1 2甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平 均成绩和方差如下表： 甲乙丙丁 平均成绩86 89 89 85 方差 S 2 2.1 3.5 2.1 5.6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是 （） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 【专题】 概率与统计 【分析】 直接由图表看出四人中乙和丙的平均成绩最好，然后看方差， 方差小的发挥稳定 【解答】 解：乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，丙 的发
10、挥较稳定， 故选 C 【点评】 本题考查方差和标准差，对于一组数据，通常要求的是这组 数据的众数，中位数，平均数，在平均数相差不大的前提下，方差越 小说明数据越稳定，这样的问题可以出现在选择题或填空题中考查 最基本的知识点 3在极坐标系中，点（，）到直线cos sin 1=0 的距离等 于（） A B CD2 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【专题】 坐标系和参数方程 【分析】 把点 A 的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直 角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A 到直线的距离 【解答】 解：点 A（，）的直角坐标为（ 1，1），直线cos sin 1=0 的直角坐标方程为xy1=
11、0， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线cos sin 1=0 的距离为， 故选： A 【点评】 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到 直线的距离公式的应用，属于基础题 4 若 a， b 表示直线，表示平面，且 b? ， 则“ ab”是“a”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】 计算题 【分析】 在题目的前提下， ab 时，若 a? ，则不能推出 a；当a 时，a，b 可能平行也可能异面，由充要条件的定义可得答案 【解答】
12、解：因为 a，b 表示直线，表示平面，且b? ， 当 ab 时，若 a? ，则不能推出 a； 反之，当 a时，a，b 可能平行也可能异面， 故“ ab”是“a”的既不充分也不必要条件 故选 D 【点评】 本题考查充要条件的判断，涉及直线和平面平行的性质和判 定，属基础题 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 5在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=（bc， cosC）， n=（a，cosA），mn，则 cosA 的值等于（） A B C D 【考点】 平行向量与共线向量；正弦定理 【专题】 计算题 【分析】 根据两个向量平行的条件，写出坐标形式的表达式，得到关 于三角形
13、角和边的关系，再由正弦定理变化整理，逆用两角和的正弦 公式，得到角A 的余弦值 【解答】 解： （bc）cosAacosC=0， 再由正弦定理得sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA sinBcosA=sin（C+A）=sinB， 即 cosA= 故选 C 【点评】 通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函 数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量 式的，另一种是坐标式，两者互相补充 6某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为 2，则该几何体的体积为（） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 ABCD 【考点】 由三视图求面积
14、、体积 【专题】 计算题 【分析】 通过三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据，求解几 何体的体积即可 【解答】 解：由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为 2 的 圆锥，下部是半径为1 的球， 所以圆锥的高为：， 所以组合体的体积为：= 故选 A 【点评】 本题考查三视图与组合体的关系，判断组合体的是由那些简 单几何体构成是解题的关键，考查计算能力与空间想象能力 7设不等式组表示的平面区域为D若圆 C： （x+1） 2+（y+1） 2=r2（r0）不经过区域 D 上的点，则 r 的取值范围是（） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A2，2 B（ 2，3 C（3，2 D （0，
15、 2） （2， +） 【考点】 简单线性规划的应用 【专题】 计算题；不等式的解法及应用 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的MNP 及其 内部，而圆 C表示以（ 1，1）为圆心且半径为r 的圆观察图形， 可得半径 rCM 或 rCP 时，圆 C 不经过区域 D 上的点， 由此结合平 面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围 【解答】 解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的 MNP 及其内部，其中M（1，1），N（2，2）， P（1， 3） 圆 C：（x+1） 2+（y+1）2=r2（r0）， 表示以 C（1，1）为圆心，半径为r 的圆 由图可得， 当半径满足 rC
16、M 或 rCP时，圆 C不经过区域 D 上的 点， CM=2，CP=2 当 0r2或 r2时，圆 C不经过区域D 上的点 故选： D 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 【点评】 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径 r 的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、 二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题 8已知，把数列 an的各项排列成如图的三角形状，记 A （m， n）表示第 m 行的第 n 个数，则 A（10，12）=（） ABCD 【考点】 数列的应用 【专题】 综合题；等差数列与等比数列 【分析】 根据图形可知： 每一行的最后一个项的项数为行数的平方； 每一行都有2n1 个项，由此可得结论 【解答】 解：由 A（m，n）表示第 m 行的第 n 个数可知， A（10，12） 表示第 10 行的第 12 个数， 根据图形可知： 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第 10 行的最后一个 项的项数为 10 2=100
