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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 高考数学二模试卷（理科） 一、填空题 1函数的定义域是 _ 2已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的 解为，则实数 a=_ 3计算=_ 4若向量， 满足且 与 的夹角为，则 =_ 5 若复数 z1=3+4i ， z2=12i， 其中 i 是虚数单位， 则复数 的虚部为 _ 6在的展开式中，常数项是_ （用数字作答） 7已知 ABC的内角 A、B、C 所对应边的长度分别为a、b、c， 若，则角 C 的大小是 _ 8已知等比数列 an的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列 log2an的前 7 项之和为 _ 9在极坐标系中曲线C： =2cos上
2、的点到（1，）距离的最 大值为 _ 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 10袋中有 5 只大小相同的乒乓球，编号为1 至 5，从袋中随机 抽取 3 只，若以表示取到球中的最大号码，则的数学期望是 _ 11已知双曲线的右焦点为 F，过点 F且平行于双曲线 的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M 在直线 PF上，且满 足，则=_ 12现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个 班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的 带队方案有 _ （用数字作答） 13若关于 x 的方程（ 4x+）|5x|=m 在（0，+）内恰有 三个相异实根，则实数m 的取值范围为 _ 14
3、课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅 原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式 的做法： 可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后 在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面 的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1） ，即可 求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上， 解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y 轴旋转一周后， 得一橄榄状的几何体 （图 2） ，其体积等于 _ 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 二、选择题 15下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+）上递增的 是（） Ay=2 |x| By=
4、lnx C D 16已知直线 l 的倾斜角为，斜率为k，则“”是“”的 （） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 17设 x，y，z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 （） AB CD|xy|xz|+|yz| 18已知命题：“若 a，b 为异面直线，平面过直线a 且与直线 b 平行，则直线 b 与平面的距离等于异面直线a， b 之间的距离” 为真命题根据上述命题，若a，b 为异面直线，且它们之间的 距离为 d，则空间中与a，b 均异面且距离也均为d 的直线 c 的 条数为（） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A0 条B1 条 C多于 1 条，
5、但为有限条D无数多条 三、解答题 19如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中， ，D 是棱 AA1上的动点 （1）证明： DC1BC； （2）求三棱锥 CBDC1的体积 20某菜农有两段总长度为20 米的篱笆 PA 及 PB，现打算用它 们和两面成直角的墙OM、ON 围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB（假设 OM、ON 这两面墙都足够长） 已知 |PA|=|PB|=10 （米） ，OAP=OBP设 OAP=，四边形 OAPB 的面积为 S （1）将 S表示为的函数，并写出自变量的取值范围； （2）求出 S的最大值，并指出此时所对应的值 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
6、 21已知函数，其中 aR （1）根据 a 的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）已知 a0，函数 f（x）的反函数为 f 1（x） ，若函数 y=f（x） +f 1 （x）在区间 1，2上的最小值为1+log 23，求函数 f（x）在区 间1，2上的最大值 22已知椭圆 C：的焦距为，且右焦点 F 与 短轴的两个端点组成一个正三角形若直线 l 与椭圆 C交于 A （x1， y1） 、B （x2，y2） ，且在椭圆 C 上存在点 M，使得：（其 中 O 为坐标原点），则称直线 l 具有性质 H （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 l 垂直于 x 轴，且具有性质H，求直线
7、l 的方程； （3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直 线 PQ、QR、RP都具有性质 H 23已知数列 an和bn满足：， 且对一切 nN *，均有 （1）求证：数列为等差数列，并求数列an的通项公式； （2）若 =2，求数列 bn的前 n 项和 Sn； （3）设，记数列 cn的前 n 项和为 Tn，问：是 否存在正整数，对一切 nN *，均有 T 4Tn恒成立若存在，求 出所有正整数的值；若不存在，请说明理由 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 参考答案与试题解析 一、填空题 1函数的定义域是x|x2 且 x1 【考点】函数的定义域及其求法 【分析】由题意即分母不
8、为零、偶次根号下大于等于零，列出不 等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示 【解答】解：由题意，要使函数有意义，则， 解得， x1 且 x2； 故函数的定义域为：x|x2 且 x1， 故答案为： x|x2 且 x1 2已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的 解为，则实数 a= 2 【考点】线性方程组解的存在性，唯一性 【分析】由已知得，把 x=1，y=2，能求出 a 的值 【解答】解：线性方程组的增广矩阵为，该线性方 程组的解为， ， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 把 x=1，y=2，代入得 a+6=4 ，解得 a=2 故答案为： 2 3计算= 【考点】数列的极限 【分析】
9、将 1+2+3+ +n=的形式，在利用洛必达法则， 求极限值 【解答】解：原式 = 故答案为： 4若向量， 满足且 与 的夹角为，则= 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】根据可得答案 【解答】解：且 与 的夹角为 =7 则= 故答案为： 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 5 若复数 z1=3+4i ， z2=12i， 其中 i 是虚数单位， 则复数 的虚部为3 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： z1=3+4i ，z2=12i， ， =， 复数的虚部为 3 故答案为： 3 6在的展开式中，常数项是15 （用数字作答） 【
10、考点】二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项 【解答】 解：在的展开式的通项公式为Tr+1=? （1） r? ， 令 r6=0，求得 r=4 ，故的展开式中的常数项是5 故答案为： 15 7已知 ABC的内角 A、B、C 所对应边的长度分别为a、b、c， 若，则角 C 的大小是 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 【考点】二阶行列式的定义 【分析】由二阶行列式性质得a 2+b2c2=ab，由此利用余弦定理 求出 cosC= ，从而能求出角C 的大小 【解答】解： ABC 的内角 A、B、C 所对应边的
11、长度分别为a、 b、c， a 2c2=b2+ab，即 a2+b2c2=ab， cosC=， C 是 ABC的内角， C= 故答案为： 8已知等比数列 an的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列 log2an的前 7 项之和为7 【考点】等比数列的性质 【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数 与对数的运算性质即可得出 【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4 ， 数列 log2an的前 7 项和=log2a1+log2a2+ +log2a7=log2（a1a2 a7） =log22 7=7， 故答案为： 7 9在极坐标系中曲
12、线C： =2cos上的点到（1，）距离的最 大值为3 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 【考点】参数方程化成普通方程 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点 （1，） 的距离，进而得出最大值 【解答】解：曲线 C： =2cos即 2=2 cos， 化为直角坐标方程： x 2+y2=2x， 配方为：（x1） 2+y2=1，可得圆心 C（1，0） ，半径 r=1 点 P（1，）化为直角坐标 P（1，0） |CP|=2， 曲线 C： =2cos上的点到（1，）距离的最大值 =2+1=3 故答案为： 3 10袋中有 5 只大小相同的乒乓球，编号为1 至 5，从袋中随机 抽取 3 只
13、，若以表示取到球中的最大号码，则的数学期望是 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【分析】由已知得的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概 率，由此能求出E（） 【解答】解：由已知得的可能取值为3，4，5， P（ =3）=， P（ =4）=， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 P（ =5）=， E（） = 故答案为： 11已知双曲线的右焦点为 F，过点 F且平行于双曲线 的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M 在直线 PF上，且满 足，则= 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求得双曲线的a，b，c，可得 F（，0） ，渐近线方程 为 y= 2x，设过点 F且平行于双曲线的一条渐近线为y
14、=2（x ） ， 代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线 OM 的方程，联立直线y=2（x） ，求得 M 的坐标，由向量共 线的坐标表示，计算即可得到所求值 【解答】解：双曲线的 a=1，b=2，c=， 可得 F（，0） ，渐近线方程为y= 2x， 设过点 F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x） ， 代入双曲线的方程，可得x=， 可得 P（，） ， 由直线 OM： y=x 和直线 y=2 （x） ， 可得 M （， ） ， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 即有= 故答案为： 12现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个 班级至多两位老师带队，且教
15、师甲、乙不能单独带队，则不同的 带队方案有54 （用数字作答） 【考点】排列、组合的实际应用 【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带 不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可 【解答】解：当甲，乙带不同班时： =36 种； 当甲，乙带相同班时， =18 种； 故共有 54 中， 故答案为： 54 13若关于 x 的方程（ 4x+）|5x|=m 在（0，+）内恰有 三个相异实根，则实数m 的取值范围为（6，） 【考点】函数的零点与方程根的关系 【分析】 分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各 自方程的根的个数，从而解得 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
16、 【解答】解：当x时，5x0， 方程（ 4x+）|5x |=m， （ 4x+ ）（ 5x ）=m，即 x+=m ； m 当 0 x时，5x 0， 方程（ 4x+）|5x |=m， （ 4x+ ）+（5x）=m ， 即 9x+=m； 9x+6； 当 m6 时，方程 9x+=m 无解； 当 m=6 时，方程 9x+=m 有且只有一个解； 当 6m10 时，方程 9x+ =m 在（ 0，1）上有两个解； 当 m=10 时，方程 9x+ =m 的解为 1，； 综上所述，实数m 的取值范围为（ 6，） 故答案为：（6，） 14课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅 原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式 的做法： 可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后 在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱
