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1、江南中学初中数学竞赛题2012.4班级 _ 姓名_ 成绩_一、选择题(每小题7分，共42分)1. 设，且x、y、z为有理数.则xyz=( ).(A)34 (B)56 (C)712 (D)13182. 某次数学测验共有20道题.评分标准规定:每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是( ).(A)两人答对的题数一样多 (B)两人答对的题数相差2(C)两人答对的题数相差4 (D)以上三种情况都有可能3. 能判定四边形ABCD是菱形的条件是( ).(A)对角线AC平分对角线BD，且ACBD(B)对角线AC平分对角线BD，且
2、A=C(C)对角线AC平分对角线BD，且平分A、C(D)对角线AC平分A、C，且A=C4. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与直线y=k(x-1)-.无论k取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ).(A)y=x2 (B)y=x2-2x (C)y=x2-2x+1 (D)y=2x2-4x+25. 如图，在ABC中，B为直角，A的平分线为AD，边BC上的中线为E，且点D、E顺次分BC成三段的比为123.则sinBAC=( ). (A)12/13 (B)4 /9 (C)2 /5 (D) 6. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴
3、正半轴分别交于点A、B，P是线段AB上一点，PMx轴于点M，PNy轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为( ).(A)3 (B)4 (C)6 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)7. 正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= .8. .一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km后报废;若安装在后轮，则行驶3 000 km后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶 km.9.已知方程x2+x-1=0的两个根为、.则的值为 .10. 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.
4、O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10 cm，l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 cm.三解答题11.(18分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10
5、元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).(1)直接写出y与x之间的函数关系式.(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少?(3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?12. (16分)已知二次函数y=x2+2mx-n2.(1)若此二次函数的图像经过点(1，
6、1)，且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值;(2)若m、n变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明:这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标.13. (16分)实数x、y、z、w满足xyzw0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.参考答案1. A.两边平方得3+ +=x+y+z+2+2+2.根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组x+y+z=3,2= ,2=,2= .解得x=1,y=12,z=32.此时,xyz=3/4.2. D.根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、的各种可能发现:
7、(1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;(2)小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答;(3)小刚与小强也可能同得23分，其中一人答对9题，其余各题答错，另一人答对5题、答错1题、其余各题未答.3. D.如图4，AC平分BD，ACBD，AC也平分A和C，故可排除选项(A)、(C).而选项(B)的条件只能推出四边形ABCD是平行四边形，故排除选项(B). 4. C.由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.由题设知,方程有两个相等的实根,则=(b-k
8、)2-4a( c+k+k2/4)=0,即 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.因为k为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x2-2x+1.5. C.设BD=x，AB=y，则DE=2x，EC=3x.由BD/DC=AB/AC，得AC=5y.又AB2+BC2=AC2，即y2+(6x)2=(5y)2.所以，x2=2y2/3，sinBAC=6x/5y=2 /5.6. C.设点P的坐标为(x0，y0)，矩形OMPN的面积为S.则x00，y00，S=x0y0.因为点P(x0，y0)在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.故S=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4
9、k)x0.因此，S最大=，即16k2-(24-8S最大)k+9=0.因为k为实数，则有=-(24-8S最大)2-41690.故|24-8S最大|24.解得S最大6或S最大0(舍去).当S最大=6时，k=-3/4.7. 15 /8.因为PE+PC=PE+PA，所以，当A、P、E三点共线时，PE+PA最小. 如图，建立直角坐标系，设B为坐标原点，BA为x轴.则lBD:y=x，lAE:3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=15/8.8. 3 750.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为
10、k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有.两式相加得x+y=3 750 (km9. .-7.令A=，B=2+2.由已知有+=-1，=-1.故B=(+)2-2=1+2=3. A+B=)=(3+3)(1/+1/)=-4.由式、得A=-4-3=-7.10. 20.如图，以点O为圆心、10 cm为半径作O.过M作MNl于点N，过O作l的垂线交O于点Q1、Q2.联结PQ1.则MNOQ1，M=MOQ1. 又因OM=OQ1，MN=OP，所以，OMNQ1OP.故OPQ1=ONM=90. 因此，点P在以OQ1为直径的圆上.同理，点P在
11、以OQ2为直径的圆上.从而，蚂蚁P在1分钟的时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1、OQ2为直径的两个圆.移动的路程为210=20.11、(1)y=-x+28， 100x200;y=- x+32， 200x300. (2)当100x200时，w=xy-40y-(1 520+480).将y=-x+28代入式得w=x(-x+28)-40(-x+28)-2 000.整理得w=- (x-195)2-78.当200x300时，同理可得w=- (x-180)2-40.故w=- (x-195)2-78， 100x200;w=- (x-180)2-40， 200x300.若100x200，当x
12、=195时，wmax=-78;若200x300时，wmax-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元.(3)依题意可知，第二年w与x之间的函数关系式为w=(-x+28)(x-40)， 100x200;w= (-x+32)(x-40)， 200x300.当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得(-x+28)(x-40)-78=1 842，100x200或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200x300.解得x1=190，x2=200.故当190x200时，总利润不低于1 842万元.由y=-x+28(100x200)可知，当销售单价定为190元时，销售量最大.
13、12 (1)由二次函数过点(1，1)得m=n2/2.注意到m-(n+4)= n2/2-(n+4)= (n2-2n-8)= (n-4)(n+2)，所以，P= n2/2， n-2或n4;P=n+4， -2n4.再利用函数图像可知，当n=-2时，Pmin=2.(2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(x1，0)、B(x2，0)、C(0，-n2).又x1x2=-n2，若n=0，则与三个交点不符，故x1x2=-n20.所以，x1、x2分在原点左右两侧.又|x1x2|=n21，所以，存在点P0(0，1)使得|OA|OB|=|OP0|OC|.故A、B、C、P0四点共圆，即这些圆必过定点P0(0，1).13. 设z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则a、b、c0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c)4(x+y+z+w).因此，x+y+z+w25.当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)5(x+y+z+w)，则 x+y+z+w20.当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.
