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1、安庆一中 2015届高三年级第三次模拟考试 数学( 理科) 试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间120 分钟。 注意事项： 1答题前，务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的班级、姓名、考场号、座位号。 2答第卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3答第卷时，必须使用0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在 题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的
2、答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 4 保持卡面清洁，不折叠，不破损。 第 I 卷（选择题，共 50分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 . 1. 已知i为虚数单位，复数z满足 22 )1 ()1(1izii，则复数z的虚部为（） . A. 2 1 B.i 2 1 C. 2 3 D. 2 3 2. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为 3，则判断框中应填入的条件是 （） . A.?6k B.?7k C.?8k D.?9k 3. 若 2 0 (sincos )2xax dx ，则实数a等于（） A1B 1 C
3、2 D2 4. 下列命题：若 2 ( )2cos1, 2 x f x则()( )f xf x对xR恒成立； 要得到函数sin() 24 x y的图象，只需将sin 2 x y的图象向右平移 4 个单位； 若锐角,满足cossin，则 2 其中真命题的个数是（） A0B1C2D3 5. 设Ra，则“1a”是“直线01yax与直线05ayx平行”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 则曲线 C1：01-cos2- 2 上的点到曲线C2： ty tx 1 3 （t
4、为参数）上的点的最短距离为( ) A22 B 2 23 C2 D 2 2 7在 ABC所在平面上有一点P，满足，则 PBC与ABC面积之比是（） ABCD 8. 数列 n a满足 1 1a， 2 1 11 4 nn aa ，记数列 2 n a前 n 项的和为Sn，若 21 30 nn t SS对任意 的 * nN 恒成立，则正整数t的最小值为（） A7 B8 C9 D10 9. 实数, x y满足 2222 21xxyyx y，则xy的最大值为（） A 4 B 2C2 D 10. 若 012 10100 xyx xaaa、，其中1,2,3,4,5,6,7(0,1,2) i ai，且636xy，
5、 则实数对( ,)x y表示坐标平面上不同点的个数为（） A50 个B70 个C 90 个 D 180 个 第 II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上。 11. 二项式 3 2 1 () n x x 的展开式中，只有第6 项的系数最大，则该展开式中的常数项为 12. 在区间 0，4内随机取两个数,a b，则使得函数 2 ( )f xxaxb有零点的概率为 13. 已知正三棱锥PABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三 棱锥的外接球的表面积为 14. 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为
6、3yx, 离心率为 e, 则 22 ae b 的最小值为 . 15.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似实数排序的定义，我 们定义“点序”记为“” ：已知 11 (,)M x y和 22 (,)N xy，MN，当且仅当“ 12 xx”或“ 12 xx 且 12 yy” . 定 义 两 点 的 “” 与 “” 运 算 如 下 ： 1212 (,)MNxxyy 1212 MNx xy y. 则下面四个命题： 俯视图 23 23 2 3 4 主视图 已知(2015, 2014)P和(2014,2015)Q，则PQ； 已知(2015, 2014)P和( ,)Q x y，若P
7、Q，则2015x，且2014y； 已知PQ，QM，则P M ； 已知PQ，则对任意的点 M ，都有PMQM； 已知PQ，则对任意的点M，都有PMQM. 其中真命题的序号为（把真命题的序号全部写出） 来 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12 分） ABC中，角CBA, 的对边分别为cba,，已知点),(ba在直线 CcByBAxsinsin)sin(sin上。 （1）求角C的大小； （2）若ABC为锐角三角形且满足 BAC m tan 1 tan 1 tan ，求实数m的最小值。 17. （本小题满分12 分） 已知数列 n
8、 a 的前 n项和为 n S ，满足 : 2 1(2), nnn SaS nN （1）求 123 ,S S S ，猜想n S , 并用数学归纳法证明； （2）设() 2 21 nn bna=+，求证：对任意正整数 n，有 12 1 n bbb+L 18.（本小题满分12 分） 在一次数学考试中，第22 题和第 23 题为选做题 . 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某 4 名考生选做每一道题的概率均为 2 1 . （1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率； （2）设这 4 名考生中选做第22 题的学生个数为，求的概率分布列及数学期望. 19. （本小题满分13 分） 如图，在ABC
9、中， 0 90C，ACBCa，点P在边AB上，设(0)APPB，过点P作 /PEBC交AC于E，作/PFAC交BC于F。沿PE将 APE翻折成,A PE使平面A PE平 面ABC；沿PF将 BPF翻折成 ,B PF使平面 B PF 平面ABC （1）求证：/B C平面A PE； （2）是否存在正实数，使得二面角CA BP的大小为 0 90？若存在，求出的值；若不存在， 请说明理由 20. （本小题满分13 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: 22 1 2412 xy , 设 00 (,)R xy是椭圆C上的任一点，从原点 O向圆R： 22 00 8x xy y作两条切线， 分别
10、交椭圆于点P，Q. （1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆 R的方程； （ 2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为 1 k， 2 k，求证： 12 210k k； （3）试问 22 OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说 明理由 21. （本小题满分13 分） 已知函数xxfln)( （1）方程xaxf)(有且只有一个实数解，求a的值； （2）若函数) 2 5 ( 2 1 )()( 2 mmxxxfxg的极值点 21,x x)( 21 xx恰好是函数 bxcxxfxh 2 )()(的零点，求) 2 ()( 21 21 xx hxxy的最小值 安庆一中 2015 届高三年级第三次模拟考试
11、理科数学参考答案 一、选择题 1. A 解析：由条件可知i ii i i z 2 1 2 3 2 3 2 31 2 ，其虚部为 2 1 . 2. C 解析：执行程序框图依次得; 3, 3log 2 kS ;6,6log; 5, 5log;4,2 22 kSkSkS8, 3;7,7log2kSkS，此时应不符合条件， 输出此时的S的值，故选C. 3. A 解析： 222 000 (sincos )sincos1xax dxxdxaxdxa，121aa . 4. B 解析；是假命题，是真命题. 5. A 解：若 直线01yax与直线05ayx平行，则有01 2 a，解得1a，故选 A. 6. D
12、解：曲线 C1、C2的直角坐标方程分别是 22 (1)2xy、.04yx圆心到直线的距离是 . 2 23 2 41 结合图形发现最短距离为. 2 2 2 2 23 故选 D. 7、A 解答： 解： ， P 是三角形的重心， P 到顶点的距离是到对边距离的2 倍， PBC 与 ABC 底边相同， PBC 与 ABC 面积之比是 故选 A 8. D 解：由条件得： 22 1 11 4 nn aa 2 1 43 n a n 设 222 211221 111 ( ) 414581 nnnnn f nSSaaa nnn 由于 111 (1)( )0 858941 f nf n nnn f(n) 关于 n
13、 成递减的 . 其最大值在n=1 时取到，即为 31 14 45 SS ， 若 21 30 nn t SS对任意的 * nN 恒成立，只要 141 9 30453 t t ，故正整数 t的最小值为 10. 9. C 解：由 x 2+2xy+y2+x2y2=1，变形为（ x+y）2+（xy ）2=1 可设 x+y=cos ，xy=sin ， 0 ， 2） （xy） 2= （x+y）24xy=cos24sin =1sin24sin = （sin +2）2+54， xy2， 故选： C 10.C： 解：记 A=x|x=a 0+a1?10+a2?100， 实数对（x， y） 表示坐标平面上不同点的个数
14、等价于要找x+y=636 在 A中的解的个数， 按 10 进制位考察即可 首先看个位，a0+a0=6，有 5 种可能 再往前看： a1+a1=3 且 a2+a2=6，有 25=10 种可能， a1+a1=13 且 a2+a2=5，有 24=8 种可能 所以一共有（10+8）5=90 个解， 对应于平面上90 个不同的点 故选 C 二、填空题 11、210 根据展开式中，只有第6 项的系数最大，可求n=10，写出其通项公式，令x 的指数为0， 即可求出展开式中的常数项. 12. 解：两个数a、 b 在区间 0 ，4 内随地机取， 以 a 为横坐标、 b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系， 可得对应
15、的点（a， b）在如图的正方形OABC 及其内部任意取， 其中 A（0，4） ，B（4， 4） ，C（4，0） ，O为坐标原点 若函数 f （x）=x 2+ax+b2 有零点，则 =a 2 4b 20，解之得 a2b，满足条件的点（a，b）在直线a2b=0 的下方， 且在正方形OABC 内部的三角形，其面积为S1=4 正方形OABC 的面积为S=4 4=16 函数 f （x）=x 2+ax+b2 有零点的概率为P= 故答案为： 来源:Zxxk.Com 来源 学科网 13. 解：解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2，如 图： 来源 : 学科网ZXXK 其中 SA=
16、4，AH= 2=2，SH=2， 设其外接球的球心为0，半径为R ，则： OS=OA=R， R+=2? R=， 外接球的表面积S=4= 故答案为： 14. 4 3 3 解：由题意 3, b a 2 222 2 22 22 22 1 b cab a aa aea aa bbbb 22 44aa bbb 443 3 a aa bbb ，因为 ,0,0 ba 所以 2 43343 2 4 333 a b ，当且仅当 43 3 a b 即 2,2 3ab 时，等号成立. 15.答案 : 三、解答题 来源 :学 )(,xFxxFax；则0)1(aF即1a. （2）), 2 5 ( 2 1 ln)( 2 mmxxxxgbxcxxxh 2 ln)( 由已知0 1 )( 2 x mxx xg的两根为 21, x x，当 2 5 m时方程01 2 mxx的0 则m
