2020年初三数学上册重点知识点精编

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1、初三数学知识点总结 二次函数 知识点： 1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,( 2 是常数，)0a，那么y叫做x的二 次函数 . 2. 二次函数 2 axy的性质 (1) 抛物线 2 axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. (2) 函数 2 axy的图像与a的符号关系 . 0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当 0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点 3. 二次函数cbxaxy 2 的图像是对称轴平行于 ( 包括重合 )y轴的抛物线 . 4. 二次函数 cbxaxy 2 用配方法可化成： khxay 2 的形式，其中 a bac k a b h 4 4 2 2 ， . 5

2、. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 2 axy； kaxy 2 ； 2 hxay； khxay 2 ； cbxaxy 2 . 6. 抛物线的五要素：开口方向、对称轴、顶点、与x 轴交点、与 y 轴交点 . a决定抛物线的开口方向： 当0a时，开口向上；当0a时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、 形状相同； a 越大，开口越小。 平行于 y 轴( 或重合 ) 的直线记作 hx . 特别地， y 轴记作直线 0 x . 求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1) 公式法： a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ，顶点是），（ a bac a b 4 4 2 2

3、 ， 对称轴是直线 a b x 2 . (2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay 2 的形式，得到顶点 为( h, k )，对称轴是hx. (3) 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以 对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 抛物线与 x 轴有无交点的判定情况 抛物线与 y 轴的交点 (c,0) 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9. 抛物线cbxaxy 2 中，cba,的作用 (1)a决定开口方向及开口大小，这与 2 axy中的a完全一样 . (2) b 和a共同决定抛物线对称轴的位

4、置 . 由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 , 故： 0b时，对称轴为y轴； 0 a b ( 即a、b同号) 时, 对称轴在y轴左侧； 0 a b ( 即a、b异号) 时, 对称轴在 y 轴右侧. （左同右异） (3) c的大小决定抛物线cbxaxy 2 与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy， 抛物线cbxaxy 2 与y轴有且只有一个交点 (0，c) ： 0c，抛物线经过原点 ; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交 于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0 a b . 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下

5、： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x( y 轴) (0,0) kaxy 2 0 x(y轴) (0, k ) 2 hxayhx( h,0) khxay 2 hx( h, k ) cbxaxy 2 a b x 2 ( a bac a b 4 4 2 2 ，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：cbxaxy 2 . 已知图像上三点或三对x、 y 的值，通常选择一般 式. (2) 顶点式：khxay 2 . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交 点 式 ： 已 知 图 像 与x轴 的 交 点 坐 标 1

6、x 、 2 x， 通 常 选 用 交 点 式 ： 21 xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点 (1) 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy 2 有 且 只 有 一 个 交 点 ( h,cbhah 2 ). (2) 平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点 的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax 2 的两个实数根 . (3) 一次函数0knkxy的图像 l 与二次函数0 2 acbxaxy的图像 G 的交点，由方程组 cbxaxy nkxy 2 的解的数目来确定： 方程组有两组

7、不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；方程组无解时l 与G 没 有交点 . (4) 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy 2 与x轴两交点为 00 21 ，xBxA， 由 于 1 x 、 2 x是 方 程0 2 cbxax的 两 个 根 ， 故 a c xx a b xx 2121 , aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 13二次函数与一元二次方程的关系： (1) 一元二次方程cbxaxy 2 就是二次函数cbxaxy 2 当函数 y 的值为 0 时的情况 (2) 二次函数c

8、bxaxy 2 的图象与 x轴的交点有三种情况：有两个交点、有 一个交点、 没有交点； 当二次函数cbxaxy 2 的图象与 x轴有交点时， 交 点的横坐标就是当0y时自变量 x的值，即一元二次方程0 2 cbxax的 根 (3) 当二次函数cbxaxy 2 的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程 cbxaxy 2 有两个不相等的实数根； 当二次函数cbxaxy 2 的图象与 x轴有一个交点时，则一元二次方程0 2 cbxax有两个相等的实数根；当 二 次 函 数cbxaxy 2 的 图象 与x轴 没 有 交 点 时 ， 则 一 元 二 次 方 程 0 2 cbxax没有实数根 14、二次

9、函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 2 y

10、axbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点mn，对称 2 ya xhk关 于 点mn，对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便 运算的原则， 选择合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式 15.

11、 二次函数的应用： (1) 二次函数常用来解决最优化问题， 这类问题实际上就是求函数的最大( 小) 值； (2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间 的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 小) 值 15. 解决实际问题时的基本思路：(1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量； (3) 用函数表达式表示出它们之间的关系；(4) 利用二次函数的有关性质进行 求解； (5) 检验结果的合理性，对问题加以拓展等 重难点： 二次函数的图像与性质， 二次函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际 问题。 考点： 二次函数在中考中占有很重要的地

12、位，是中考中的必考内容。 中考的主要命题点 为：（ 1）求二次函数的关系式（ 2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二 次函数的最大（小）值（4）抛物线 2 yaxbxc（a0）与 a,b,c 的符号（ 5） 二次函数与一元二次方程 （6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、 填空题、解答题，还有探究题和开放题。 有关二次函数的热点问题仍然是函数型 应用题与方程、 几何知识、 三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放 题。 圆的基本性质 知识点： 1. 圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2. 圆周

13、角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； 90 圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3. 圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是 研究有关圆的知识的基础。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。

14、 还可以概括 为：如果有一条直线 ,1. 垂直于弦； 2. 经过圆心； 3. 平分弦（非直径）； 4. 平分 弦所对的优弧； 5. 平分弦所对的劣弧， 同时具备其中任意两个条件， 那么就可以得到其他三个结 论。 4. 弧长及扇形的面积 弧长公式： 圆弧是圆的一部分，若将圆周分为360 份，1的圆心角所对的弧是圆周长的 1 360 ，因为半径为 r 的圆周长是 2r ，所以 n的圆心角所对的弧长l的计算 公式为2 360180 nn r lr?（其中，l为弧长， n 为弧所对的圆心角度数， r 为 弧所在圆的半径） 扇形的面积公式： 1扇形的定义： 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形

15、叫做扇形， 如图， ? AB和半径 OA 、OB所组成的图形是一个扇形，读作扇 形 OAB 2扇形的周长 扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即 ? 2R AB ll 扇形 3扇形是圆面的一部分，若将半径为r 的圆分为 360 份，圆心 角 1的扇形面积是圆面积的 1 360 ，因为半径为r 的圆的面 积是 2 r ，所以半径为 r ，圆心角为 n的扇形面积为 2 360 n r S 4弧长为l，半径为 r 的扇形面积为 2 11 36021802 n rn r Srlr? 5扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）： 5. 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为

16、l ，底面圆的半径为r ， 那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l ，扇形的弧长即为底面圆的周 长 2r ，根据扇形面积公式可知S 2 1 2rl rl 因此圆锥的侧面积为S侧 rl 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=r 2+rl 重点： 1. 弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。 2. 用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。 3. 垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考） 4. 扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。 难点： 1. 对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解 2. 圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力 3. 类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。 4. 有关圆的无图多解问题。 考点： 1 垂直于弦的直径 2 圆周角定理及其推论 3 圆内接四边形 4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 5 圆的性质综合题 相似三角形 知识点： 1 相似图形 形状相同的图形叫相似图形，在相