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1、求二次函数的解析式 一设一般式 yax2bxc(a0 )求二次函数的解析式 (教材 P40 练习第 2 题 ) 一个二次函数的图象经过(0，0)，(1， 1)， (1，9)三点，求这个二次函数的解析式 解：设这个二次函数的解析式为yax2bxc(a0) ， 则 c0， ab c 1， ab c9， 解得 a4， b5， c0， 所以所求的二次函数的解析式为y4x25x. 【思想方法】若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为yax2bxc， 将已知条件代入，求出a，b，c 的值 如图 1，抛物线的函数解析式是(D) Ayx2x 2 B yx2x2 Cy x2x2 Dy x2x2 【解
2、析】根据题意，设二次函数的解析式为yax2bxc，因为抛物线过点(1，0)，(0， 2)，(2，0)，所以 abc 0， c2， 4a2bc0， 解得 a 1，b1， c2，所以这个二次函数的解析式 为 y x2 x2. 图 1 图 2 如图 2，二次函数yax24xc 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A(4，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上存在点P，满足 SAOP8，请直接写出点P 的坐标 解： (1)由已知条件得： c0， a（ 4） 24 （ 4） c0， 解得 c0， a 1， 此二次函数的解析式为y x24x. (2)点 A 的坐标为 (4，0)， AO4. 设点
3、 P 的坐标为 (x， h)， 则 SAOP 1 2AO|h| 1 24 |h|8，解得 |h|4. 当点 P 在 x 轴上方时， x24x4，解得 x 2， 点 P 的坐标为 (2，4)； 当点 P 在 x 轴下方时， x24x 4， 解得 x1 22 2，x2 22 2， 点 P 的坐标为 (22 2， 4)或( 222， 4)， 综上所述，点P 的坐标为 ( 2，4)或(2 2 2， 4)或( 222， 4) 如图 3，抛物线经过A(1， 0)，B(5，0)， C(0， 5 2)三点 图 3 (1)求抛物线的解析式； (2)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使 A，C
4、，M，N 四点构成的四边形 为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)设抛物线的解析式为yax2bxc， 根据题意，得 ab c0 25a5bc0 c 5 2 ，解得 a 1 2 b 2 c 5 2 ， 抛物线的解析式为y 1 2x 22x5 2； (2)存在 (i)当点 N 在 x 轴的下方时，如图所示， 四边形 ACNM 是平行四边形，CNx 轴， 点 C 与点 N 关于对称轴x2 对称， C 点的坐标为 (0， 5 2)， 点 N 的坐标为 (4， 5 2) (ii) 当点 N在 x 轴上方时，如图所示，作NHx 轴于点 H， 四边形 ACM N是平行四边形
5、， ACMN， NMH CAO， RtCAORtNMH ， NHOC， 点 C 的坐标为 (0， 5 2)， NH 5 2， 即点 N的纵坐标为 5 2， 1 2x 22x5 2 5 2， 解得 x12 14，x2214. 点 N的坐标为 (214， 5 2)和(2 14， 5 2) 综上所述，满足题目条件的点N 共有三个， 分别为 (4， 5 2)，(2 14， 5 2)和(2 14， 5 2) 二设顶点式 ya(xm)2 k(a0 )求二次函数的解析式 (教材 P36 例 4) 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出 的抛物线形水柱在与池中心的水平
6、距离为1 m 处达到最高， 高度为 3 m，水柱落地处离池中 心 3 m，水管应多长？ 解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴， 建立直角坐标系点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 ya(x1)23(0 x3) 由这段抛物线过点(3， 0)，可得 0a(3 1)23 解得 a 3 4 因此 y 3 4(x1) 23 (0 x3) 当 x0 时， y2.25，也就是说，水管应2.25 m 长 【思想方法】若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值 )，可设所 求二次函数的解析式为ya(xm)2k，将已知条
7、件代入，求出待定系数，最后将解析式化 为一般形式即可 已知某二次函数的图象如图4 所示， 则这个二次函数的解析式为(D) 图 4 Ay2(x1) 28 By18(x1)2 8 Cy2 9(x1) 28 Dy2(x1)28 一抛物线的形状、开口方向与y 1 2x 24x 3 相 同，顶点坐标为 (2，1)，则此抛 物线的解析式为(C) Ay1 2(x2) 21 By1 2(x2) 21 Cy1 2(x2) 2 1 Dy 1 2(x2) 21 【解析】抛物线的形状、开口方向与 y 1 2x 24x3 相同，所以 a1 2.顶点在 (2，1)，所 以抛物线的解析式是y 1 2(x2) 2 1. 已知
8、抛物线yx2 2xc 的顶点在 x 轴上，你认为c 的值应为 (C) A 1B0C1D2 【解析】根据题意得 4c（ 2） 2 41 0，所以 c1. 抛物线 yx22(m1)x2m2m 的对称轴为x3，则 m 的值是 (B) A1 B2 C3 D4 三利用平移规律求二次函数的解析式 (教材 P34 思考 ) 抛物线 y 1 2(x1) 2，y 1 2(x1) 2 与抛物线y 1 2x 2 有什么关系？ 解：把抛物线y 1 2x 2 向左平移 1 个单位， 就得到抛物线y 1 2(x1) 2； 把抛物线 y 1 2 x2 向右 平移 1 个单位，就得到抛物线y 1 2(x1) 2. 【思想方法
9、】(1)可按照口诀 “ 左加右减，上加下减” 写出平移后的解析式；(2)平移所得函数 的解析式与平移的先后顺序无关 抛物线yx24x3 的图象向左平移2 个单位后所得新抛物线的顶点坐标为 (A) A(0， 1)B(0， 3) C(2， 3) D(2， 1) 将抛物线yx2x 向下平移2 个单位， 所得新抛物线的解析式是_yx2x2_ 在平面直角坐标系中，将抛物线yx24 先向右平移2 个单位，再向上平移2 个 单位，得到的新抛物线的解析式为(B) Ay(x2) 22 By(x2)22 Cy(x2)22 Dy(x2)22 已知抛物线yax2bxc 与 x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0， 3) (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x 上，并写出平移后抛 物线的解析式 图 5 解： (1)抛物线与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线解析式为y a(x 1)(x 3)， 把 C(0， 3)代入得： 3a 3，解得： a 1， 故抛物线解析式为y (x 1)(x3)， 即 y x2 4x3， y x24x 3 (x2)21， 顶点坐标为 (2，1)； (2)先向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到的抛物线的解析式为y x2，平移后 抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y x 上
