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1、2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法,复习,3已知a(5,10)，b(3，4)，c(2,3)，且clakb，则l_，k_.,由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.,1向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义 (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线
2、(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：_,abab(或x1y2x2y10),(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：_ (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式_. (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题,abab0(或x1x2y1y20),思考1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？,思考2:在平行四边形ABCD中，设向量 则向量 等于什么？向量 等于什么？,
3、例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图2.5-1， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？,A,图2.5-1,平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素.,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,总结,变式 2、,例2.如图2.5-2，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之
4、间的关系吗？,A,B,D,E,F,R,T,C,猜想：AR=RT=TC,图2.5-2,由于 与 共线，故设 因为,又因为 共线， 所以设,因为 所以,A,B,D,E,F,R,T,C,图2.5-2,利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.,总结,变式 3、,例3.若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求,A,B,C,O,解：以O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，,分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.,探究二（角度问题）,E,D,A,B,C,O,E,D,建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.,总结,如右图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP、EF，求证：DPEF.,A,1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题.,2.要掌握向量的常用知识共线；垂直；模；夹角；向量相等.,变式4、,
