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1、自贡市高2011级第三次诊断考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题(理)BCCCDDABBDBB;(文)CCCDADABBDBB; 二、填空题:13. 20; 14. (文) 、(理);15. (或30);16.三、解答题:17.【解】(I)由条件得cos=,cos=2分为锐角,sinA=sin=, 3分同理有sinB=sin= 4分 6分(注:如果运用单位圆方程x2+y2=1、勾股定理等别的途径得出正确解答不得扣分)()由()知, 7分由得,即9分,又 ,即 11分 12分18.【解】()(文、理)记“公司任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件有.(文)6分(理)4分(文)()记
2、“商家任取2件产品检验,其中不合格产品数为件” 为事件,.10分(各得2分)商家拒收这批产品的概率故商家拒收这批产品的概率为.12分(理)()可能的取值为 .5分 ,8分(一个记1分) 10分记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率,所以商家拒收这批产品的概率为12分.19.【解及证】()证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D,1分 则由平面A1BC侧面A1ABB1于A1B,得AD平面A1BC, 2分又BC平面A1BC,ADBC. 3分三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,AA1BC. 4分又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB
3、1,5分又AB侧面A1ABB1,故ABBC6分()解法1:连接CD,则由()知是直线AC与平面A1BC所成的角,7分是二面角A1BCA的平面角,即.8分于是在RtADC中,9分在RtADB中,.10分由ABAC,得又所以.12分解法2:由()知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,7分设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是,8分设平面A1BC的一个法向量为=(x,y,z),则由得9分可取=(0,c),于是c0,与n的夹角为锐角,则与互为余角. sin=cos=,cos=,于是由b,得即
4、又.12分. (文)20.【解】()f(x)=-3x2+2ax,1分要使f(x)在(0,1)上单调递增,则x(0,1)时,f(x)0恒成立 -3x2+2ax0,即当x(0,1)时,a恒成立 .2分a,即a的取值范围是 3分()由f(x)= -3x2+2ax,令f(x)=0,得x=0,或x=a a0,当x变化时,f(x) f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,)a()f(x)-0+0-f(x)y极小y极大y极小=f(0)=b=1,y极大=f(a)= -a3+aa2+1= .5分b=1,a=1 故f(x)=-x3+x2+1 6分()当x0,1时,tan=f(x)= -3x2+2ax 7分由
5、0,得0f(x)1,即x0,1时,0-3x2+2ax1恒成立.9分当时,R 当x(0,1时,由-3x2+2ax0恒成立,由()知 10分由-3x2+2ax1恒成立,a(3x+),(等号在=时取得) 综上,a .12分(理)20(同文21题)【解】()设T(x,y),点N(x1,y1),则N1(x1,0)又,即(x1,y1),M1(0,y1),(x1,0),(0,y1)3分于是(x1,y1),4分即(x,y)(x1,y1)代入6,得5x2y236所求曲线C的轨迹方程为5x2y2366分()设由及在第一象限得解得即8分,设则 . 由得,即 . 10分联立,解得或因点在双曲线C1的右支,故点的坐标为
6、11分由得直线的方程为即 12分(理)21.【解】()f (x)x2(a2)xba e3-x, 1分由f (3)=0,得 32(a2)3ba e330,即得b32a, .2分则 f (x)x2(a2)x32aa e3-xx2(a2)x33a e3-x(x3)(xa+1)e3-x.令f (x)0,得x13或x2a1,由于x3是极值点,a13,即a4, .4分当a3x1,则在区间(,3)上,f (x)0,f (x)为增函数; 在区间(a1,)上,f (x)4时,x23x1,则在区间(,a1)上,f (x)0,f (x)为增函数;在区间(3,)上,f(x)0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增
7、,在区间(3,4)上单调递减,由于f(x)连续,那么f (x)在区间0,4上的值域是minf (0)、f (4)、f (3),max f (0)、f (4) )、f (3),而f (0)(2a3)e30,f (3)a6,那么f (x)在区间0,4上的值域是(2a3)e3,a6.8分又在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是a2,(a2)e4,.10分由于(a2)(a6)a2a()20,所以只须仅须(a2)(a6)0,解得0a对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立,矛盾 .9分另一方面,当时,对一切的正整数n都有,事实上,对任意的正整数k,有当n为偶数时,设,则11分当n为奇数时,设则对一切的正整数n,都有,综上所述,正实数的最小值为4 .14分