华东师范大学金融学金融工程课件第八章PPT演示课件

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1、1,第八章 期权的交易机制,张玉鹏，华师大金统学院,2,8.1 引言, 在传统教科书的方法中，期权是作为方向性工具来介绍,的。对一个终端投资者或者零售客户来说，期权的这种 方向性是很自然的。但是将期权作为方向性工具会掩盖 期权是交易波动率的工具这一基本特征。, 一个持有净多头头寸的做市商就是希望波动率增大的,人；而持有期权空头头寸的做市商则是认为标的资产的 波动率会下降的人。, 在一个期权做市商的眼里，买一个看涨期权和买一个看,跌期权是没有区别的。这两种交易最后将导致相同的支 付。, 交易者并不关注卖出什么类型的期权，他关注的是应该,买入还是卖出他们。,3,8.2 期权, 从市场操作者的角度来

2、看，期权是波动率工具。, 一个持有某个资产st看涨期权的零售投资者认,为，这种资产价格的持续上涨对他是有利的。, 但是，一个持有同样看涨期权的做市商更愿意,标的资产的价格st能够发生尽可能大且尽可能 频繁的波动。, 价格波动得越频繁越剧烈，在账簿上的多（空）,头头寸将会获利（损失）越多，而不管他拥有 的是看涨还是看跌期权。,4,5,8.3 期权的定义和符号, 期权的买方买的并不是标的资产，他买的是一种权利。,如果这种权利只能在到期日行使，这个期权就是欧式期 权。如果这种权利在一个特定时间段里的任何时间均能 行使，这种期权就称为美式期权。, 在一个普通欧式看涨期权情形下，期权持有者购买了可,以按

3、一定价格在特定日子购买标的资产的权利，这个价 格称作交割价或执行价，这个特定的日子称为到期日。 在普通欧式看跌期权的情形下，期权持有者同样是购买 了某种行为的权利，只是这时候变为按照执行价在到期 日卖出标的资产。, 美式期权可以在到期日前的任何时间执行，因此可能更,贵。,6,5.3.1、符号, 用符号K来表示交割价，T表示到期日。当标的,资产是现货时，用St表示它的价格；当它是远 期或期货时，则用Ft表示。在t时，看涨期权的 公平价格用C(t)表示，看跌期权价格用P(t)表示。, 用St作为隐含变量，然后将相应的看涨期权的,数。,定价函数写为 C(t) = C( St ,t r, K,T )

4、这里 是St的波动率，r是即期利率，假定为常,7, 假定这个函数有一阶偏导数, 假定偏导数具有如下性质。, 关于偏导数的这些信息被看作是已知的，即使并不知道,C(St,t)本身确切的表达式。,8, 传统的Black-Scholes普通期权定价情形只,用到了Cs，Css，Ct。随着Black-Scholes假,设的逐步放松，可引入更多的偏导数。, 图8-2显示了普通看跌和看涨期权在到期日 的支付。在同一图中也表示出了看涨期权 和看跌期权在时间t，tT时的价值。,9,10, 图8-2中上图是普通欧式看涨期权的典型价 格图。,时的期权价格显示为一条光滑的凸,曲线，并且随着接近到期日T，这条曲线收 敛

5、于分段线性的期权支付曲线。 支付曲线和水平轴的竖直距离成为内在价 值。期权价格曲线和到期支付的竖直距离 成为期权的时间价值。 对于固定的t，当期期权是平价（即当St=K） 时，时间价值达到最大。,11,8.4 作为波动性工具的期权, 本节我们将考察当St上下波动时，凸度是如,何转化为现金收益并创造时间价值的。, 考虑一个平价期权，即K=St。我们先考虑,购买了一个期权的做市商采取的初始步骤。 然后，说明这个做市商如何动态地对冲这,个头寸，从而由St的波动产生现金收益。,12,8.4.1 初始头寸和对冲, 假设这个做市商向一个客户买入一个看涨 期权。图8-4顶部表示了做市商的初始头寸。 首先，做

6、市商需要为这个头寸筹集资金； 其次，他应该对冲伴随而来的风险。, 筹资至少有两种方式：一种是卖空适当的 资产来获得所需要的资金，另一种是直接 从货币市场借入资金。假设选择了第二,种，而且做市商以利率rt=r从货币市场机构,借入C(t)美元。图8-4的底部显示了将期权 和借入资金放在一起的净头寸。,13,14, 现在考虑一下头寸面临的风险。, 如果St减少，头寸的价值将减少，做市商必须通过持 有能够弥补这种可能损失的另一种头寸来对冲这个风 险。 当St减少时，St的空头寸将会获利。当S 改变了tSt 后，空头寸将改变-S t 。因此，我们可以考虑运用 这个空头寸来进行对冲。, 隐含的问题：看涨期

7、权的多头头寸是用曲线来表,示的，而St的空头头寸用一条直线来表示。这意 味着C(t)和St对St变化的反应是不相同的。,15, 如果对冲风险的资产组合为：, 对于St微小变化，资产组合头寸的净变化可用一,阶近似给出：, 图8-5显示了这个头寸。由于0Cs1，资产组合,仍是一个有风险的头寸，而且此时，风险被倒转 了。这个头寸等价于用货币市场贷款筹资的一个 看跌期权多头头寸。,16,17,根据方程(14)，卖空一单位的St过分对冲了 风险。做市商不应卖空以一单位的St资产，而应,该卖空ht单位的St, 我们考虑下面新的资产组合Vt,Vt=买入1单位C(t), 借入C(t)美元, 卖空Cs单位 的S

8、t, 其他条件不变时，如果St改变了St，资产组合,价值的改变大约是,18,运用C(St+S t,t)在St点的一阶泰勒级数来,近似, 化简后， 这说明，资产组合对于St变化的 敏感性将是余项R。余项中的最大一项是, 由于C(t)的二阶偏导数总是正的，所以受St变化 影响的资产组合的价值总是正的。图8-6的底部,说明了这一点。, 像这样的一个资产组合称作delta中性的。也就是,说，用头寸对于St变化的一阶敏感性表示的delta 敞口是0.,19,20, 这种为期权建立对冲的方式称为delta对冲，而ht,称为对冲率。, 应该注意，随着时间的演化和St的改变需要持续 更新对冲率ht。这里的基本

9、思想是用线性工具作,为非线性工具的一阶泰勒级数近似。,21,8.4.2 对冲的适时调整, 现在考虑St波动时，delta对冲头寸将发生什么样,的变化。, 考虑St在初始点St0=S0附近的一系列简单波动。 假设Sti只在三种可能的价值间移动，用S-,S0,S+ 来表示St可能的价值，其中,S+=S0+S, S-= S0 - S, 随着St的波动，C(St,t)的斜率Cs也会改变,22, 当St移动时，为保持资产者是delta对冲的，做市 商需要调整卖空标的资产St的数量。, 做市商则会自动卖出高价资产和买进低价资产。,在每一个往返变动里，例如S0,S+,S0（经历了 两个周期），对冲调整产生的

10、现金收益等于 （30）, 这里，,代表价格从S0变到S+之后，需要多,卖空的St资产的数量。一旦价格又回到S0，同样 数量的资产将以一个较低的价格被购回。,23, 公式(30)表示，在一个往返变动里由delta对冲调,整产生的收益可以近似表示为, 当价格上涨时，做市商卖空标的资产，而当价格,下降时，则购回一部分头寸。这将产生现金收益。,24,8.4.3 其他现金流, 以上说明了如果做市商用delta对冲期权多头寸,时，St的波动将产生正的现金流。这是否隐含着 一个套利机会呢？, 答案是否定的。这个策略需要成本，而且delta对,冲期权头寸也不是没有风险的。,25,8.4.4 表示期权易损的偏微

11、分方程, 对冲调整中获得的每单位时间期权收益是,如果St是几何过程，期权收益可写 成（见附录）：, 借来购买看涨期权的资金需支付利息。对每个长,度为的时间段，一个看涨期权的持有者将支付 利息成本 rC., 另一进项是由卖空Cs个单位St资产所获现金带来 的利息收益rCsSt,26, 上述收益成本相加，得到在时间内对冲看涨 期权多头寸的净现金收益(损失), 为了不产生套利机会，它必须等于每日损失的,时间价值, 消去公共项，得到一个非常重要的关系，它 就是Black-Scholes偏微分方程。, 看涨期权将在时间T时执行，到期日的价值,C(ST,T)=maxST-K,0。求解这个偏微分方程就 得到

12、了Black-Scholes公式。,27,8.4.5 到期日的现金流, 到期日的现金流有三部分：(1)如果贷款没有在,期权有效期内连续归还，做市商需支付最初的 贷款；(2)期权最终交割的收益；(3)St空头寸的 最终支付。, 在到期日前的无限小的时间段dt内，标的资产,的价格非常接近ST，记它为ST-。价格曲线 C(St,t)非常接近分段线性的期权支付图。因 此，对冲率hT-=Cs非常接近0或者1:,28, 这意味着在时间T,看涨期权多头寸的收益将,等于St空头寸的损失。, 问题是：做市商如何成功归还最初的贷款 呢？只有一种方式。唯一能得到的现金就 是由t,T内进行对冲调整而产生的(净)交易,

13、收益的累积。只要方程(44)对每个ti都满足,的话，被对冲的期权多头寸就能产生刚刚 好的现金来归还贷款。,29,8.4.6 一个例子, 详见课本P192-193例题。, 结论：在期权的有效期内，如果St的波动率,比隐含波动率要大，多的凸头寸就会有净 利润。,30, 本节有三个假设使记号和讨论得到简化：, 我们考虑一个固定点S0附近的波动。在现实生活中，波动明 显地发生在本身也在变动的点附近。在这种情况下，偏导数 Cs和Css将以更加复杂的方式变化。 Cs和Css也是时间t的函数，随着时间的推进，将产生其它变化。 在讨论中，假定S处的波动保持不变。而在现实生活中，波 动率将随着时间改变且是随机的

14、。这一点本质上不会改变我 们关于对冲调整收益的讨论，但是，它将带来做市商需要进 行对冲的vega风险。 最后，应该记住在期权的有效期内标的资产没有分红。如果 支付了红利或股息，则现金收益或损失的计算也要进行相应 的调整。,31,8.5 期权工具, 利用Black-Scholes偏微分方程可导出做市商经,常使用的重要工具： 第一个工具就是Black-Scholes公式，它给出了一个 普通的看涨(看跌)期权在特定假设下的无套利价格。 第二种工具由希腊字母组成。这些字母度量了一个期 权价格对不同市场参数变化的敏感性。 第三套工具是市场操作者提出的有关这些理论模型的 特别修正。,32,8.5.1 求解

15、基本偏微分方程, 期权支付的凸度意味着一个套利论述，即由St的 波动产生的净收益(损失)的期望等于在同一时间,价值的衰减。这就导致了Black-Scholes偏微分 方程： （49）, 以及边界条件：C(T)=maxST-K,0,（50）, 使用有关St动态机理的特殊假设，这个偏微分方 程有解析解。这个解就是Black-Scholes公式的,市场基准。,33,8.5.2. Black-Scholes公式, 考虑以股票为标的资产的欧式普通看涨期权。期,权在Tt时到期，执行价为K，St表示标的资产的 价格。 Black-Scholes模型假定如下： 无风险利率是常数r； 标的股票的价格动态机理可由

16、如下的随机微分方程来 描述 股票不支付红利，而且在区间t,T内没有股份的分割 以及其他股东决议。 最后，没有任何交易成本和买入-卖出价差。,34, 在上述假设下，我们可以求解偏微分方程(49)和(51)，,从而得到下面的Black-Scholes公式, 其中d1,d2等于, N(x)代表标准正态分布的累积函数。, 公式中，r, ,T和K被看做参数，因为公式只有在这些,参数保持不变时才能表示成这种形式。变量是St和t，在 期权的有效期内允许变化。,35, 希腊字母：C(t)关于变量St和t以及参数r,T和K,的偏导数。它们代表了期权价格对于变量以及参 数微小变化的敏感性。, 标的资产为远期或期货时的Black-Scholes公式, 远期多头寸和空头寸只是在未来时间T约定买,卖，而不是立即购买标的资产。因此，唯一的现 金流动将为看涨期权融资的利息成本和由对冲调 整产生的现金收益。这意味着相应的偏微分方程 将变为,36, 边界条件为, 这里Ft现在是标的资产的远期价格。, 这个偏微分方程在欧式期权情形的解由下,面的Black公式给出, 其中,37,期权平价定理, 期权平价