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1、1,第六章 数学中蕴涵的美学思想,第一节 数学美的涵义,第二节 数学美的特征,退出,一、数学家论数学美,二、数学美的涵义,一、 简单美,二、 对称美,三、和谐美,四、奇异美,2,第三节 让学生感受数学美,第四节 数学美在中国的源头,一、美观-外在的美,二、美好-内在的美,三、美妙-快乐的美,四、完美- 至善至美,一、太极八卦-中国象数学的美,二、河图洛书数学形式美的雏形,3,第一节 数学美的涵义,一、数学家论数学美,古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。”,古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是
2、他的杰作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐-这就是美。”,返回,4,庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。”,克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”,高 斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我研究的主要动力。”,返回,5,数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数
3、学思维结构的呈现。它是自然美的客观反映，是科学美的核心。,二、数学美的涵义,返回,6,第二节 数学美的特征,一、 简单美,简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系的简单。,1. 符号简单 符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的符号去表现复杂的数学内容。,例如，微积分学中的常用符号：,返回,7,又如，哈密顿微分算子符号,向量场函数 v = v1i + v2j + v3k, (vi是x,y,z的函数) v = ( )(v1i + v2j + v3k),返回,数量场函数u(x,y,z)时，产生梯度,8,拉普拉斯方程:,若用哈
4、密顿算子表示，也十分漂亮、利落: uu = 0,返回,9,在线性方程组,表示为 AX = B,返回,10,在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号,用今天的符号表示即：,宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式 412x2x +136 其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”。,返回,11,16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用 xxx9xx +26240 表示方程 x39x2 +2624 = 0 这个演变过程就是对简单美的
5、追求过程。,返回,12,如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数学符号却能精确地表示它们。,有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊字母来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无理常数欧拉常数,返回,13,2. 形式简单,艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。,数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一个公式 审美度= 即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比，与数学表现
6、出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的表现形式越简单就越美。,返回,14,格林公式,斯托克斯公式,返回,15,空间解析几何中,椭 球,椭圆抛物面,它们不仅便于记忆，而且具有形式美。,返回,16,3. 语言简单,数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。,如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。,数列极限,函数极限,导数概念,返回,17,4. 方法简单,数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式，并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。,例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法)与柯西判别法(根式法)都是十
7、分简单有效的判别法, 然而它们都有一个共同的不足 ，就是不能判别当极限值时级数的敛散性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。,比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法,返回,18,返回,19,凡是用达氏法能判别的级数敛散性，用拉贝法也能判别，因此，拉贝法比达氏法更精细。,返回,20,比拉贝判别法更精细的是库麦尔(Kummer)判别法,其中Cn适合条件: 级数 发散。,设,则当k0时, 级数 收敛; 当k0时，级数 发散。,返回,21,拉格朗日型余项简单整齐，易于记忆，使用方便。从审美度而言拉格朗日型余项是最美的，因此受到人们的青睐。,然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是
8、拉格朗日型余项,其中 在x与x0 之间。,返回,又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)罗赫(Roche)余项，柯西余项和拉格朗日余项等。 在整体性余项中，后两种余项仅是前一种余项的特例。因而，从整体性考虑，前一种余项更完美。,22,二、 对称美,对称是指图形或数式的对称，概念、命题、法则或结构的对偶、对应、对逆等。,1. 形式对称,解析几何中的标准图形,返回,23,代数中的二项式定理：,对称行列式:,对称矩阵 ：,返回,24,微积分中空间曲线L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切线方程,空间曲面S ：F
9、(x, y, z) = 0的法线方程,导数的运算法则,返回,25,2. 关系对称,运算的对称：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等；,概念的对称：函数与反函数、奇与偶、单增与单减、连续与间断、收级与发散等；,命题的对称：,严格单减。,返回,26,“共轭”关系对称性：,共轭无理数,共轭矩阵,共轭积分,返回,27,“对偶”关系对称性：,集合中的对偶关系,线性规划中的对偶关系,返回,28,由对偶定理知，若线性规划问题(*)有最优解，则其对偶规划问题(*)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值相等。反之也成立。,返回,返回,29,3. 对称美方法的运用,对称美方法是数学中
10、的锐利武器, 数学家们利用它揭示和发现了很多数学中的奥秘，其中最典型的有麦克斯韦方程、笛沙格定理和伽罗瓦群等，它被著名数学家狄拉克(Dirac)称为“自然科学时代新方法的精华”。 下面仅以求积分为例，来说明它的妙用。,(1) 利用积分区间的对称性,利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性，简化定积分的计算，是积分运算中最常用的一种方法。,若积分区间不关于原点对称，或积分区间虽然关于原点对称，但被积函数是非奇非偶函数，有时通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间上的积分问题。,返回,30,例1 求 ( n为自然数)。,令, 则可将积分化为对称区间。,返回,31,(2) 利用函数图象的对
11、称性,借助积分中函数图象的对称性，获得简捷的解题途径，这是对称美方法的又一妙用。,例2 设C为对称于坐标轴的平面光滑闭曲线，证明,易知积分与路径无关。 设D为曲线C围成的平面闭区域, 则由格林公式,返回,32,因为积分域D关于x轴对称，又y3 是奇函数，,(3) 利用轮换对称性,根据研究问题中解析式结构的对称性，由一个结论迅速地得出相似结论，这不仅能缩减冗长繁琐的计算或证明过程，而且给人以对称美的享受。,例3 计算,椭球的外表面。,返回,33,作广义极坐标变换 , 则,返回,34,用轮换对称法，即得,于是,返回,35,(4) 挖掘潜在的对称关系,有的问题从表面上看，似乎与对称无关。 但如果仔细
12、分析，寻找潜在的对称关系，从而将问题转化为对称问题，就能很快找到突破口, 使问题迎刃而解。,例4 计算,若直接 令, 则会导致错误结论。,因为 f(x) = 在0, 上的原函数不是初等函数，,所以不能用一般定积分的方法来计算。,返回,36,于是寻找有无对称点, 容易发现,即在区间0, 上横坐标关于 的任意两个对称点x与 相应的函数值关于 也对称，,故,返回,37,(5) 构造对称关系,有些数学问题，原来并不具有对称性，在解题过程中，如果善于根据问题的特点，构造出某种对称关系，便能使问题很快得到解决。,积分区域不具有对称性，作曲线, 将D分成D1, D2两部分,返回,38,于是D1与D2 分别关
13、于y轴和x轴对称。,又因为是x或y的奇函数, 所以,=0,从上述解题过程中都放射出对称美思想的光芒，正如 德国数学家外尔(Weyl)所说：“美和对称紧密相关”。,返回,39,三、和谐美,数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存在着内在的联系或共同规律，从而形成本质上的严谨与统一。,和谐指事物之间具有匀称、有序、明确的变化规律。,1. 严谨是和谐的基础,数学的严谨自然显现出它的和谐。为了追求严谨，消除数学中的不和谐因素，数学家们一直在努力。,数学史上所谓的“数学危机”正是某些数学理论不和谐所致。,返回,40,第一次危机-无理数的诞生。,第二次危机-实数理论得以建立,
14、 导致集合论的诞生。,第三次数学危机-“罗素悖论”和其它悖论的产生，为了避免悖论，策梅洛(Zermelo)在1908年提出了一种公理系统，后经弗兰克尔(Fraenkel)在1921年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。,函数的连续性，是当今数学中的一个重要基本概念，然而它的现代定义的形成，也经历了一个从不和谐到和谐的漫长过程。,18世纪，数学家欧拉认为，由一个单独表达式给出的函数是连续的，而由几个表达式给出的函数是不连续的。例如, 欧拉函数,返回,41,是不连续的，而由两个分支组成的双曲线(反比例函数)， 因为它是由一个表达式 给出的，就认为它是连续的。,19世纪
15、，傅立叶证明：定义在某个区间上的任意函数可表示成该区间上的正弦与余弦的无穷级数。 比如，,返回,42,可表示为,这样一来，上述函数依照欧拉的见解既不是连续的，同时又是连续的。,1821年，柯西对“连续”概念重新叙述，直至1850年魏尔斯特拉斯给出“”形式的定义，才使得“连续”这一概念有了新的解释。,2. 统一是和谐的标志,统一是指数学中内容与内容之间、内容与形式之间、章节与章节之间客观存在的相互联系。,返回,43,解析几何中, 引入极坐标之后，椭圆、双曲线、抛物线统一于公式,平面上的二次曲线方程,由于系数A, B, C, , F不同，其形态万千，但是欧拉通过坐标变换，将它们化为下面九种标准形状
16、:,返回,44,(双曲线),(两虚直线相交),(虚椭圆),(椭圆),返回,45,(两重合直线),(两平行虚直线),(两平行直线),(抛物线),(两相交直线),返回,46,在积分学中，不定积分与定积分是两个切然不同的概念，但在微积分基本公式,之中得到和谐统一, 从而极大地推动了微积分的应用与发展。,定积分、重积分、曲线积分和曲面积分，它们表述的实际意义各不相同，但却都统一于黎曼积分之中。,各类积分之间都有着内在联系 ：,返回,47,返回,48,四、奇异美,奇异指数学中的方法、结论或有关发展出乎意料，使人既惊奇又赞赏与折服。,徐利治先生说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。”,在数学史上曾吸引人们广泛关注的有“蝴蝶定理”。,1815年，数学家奥纳首先解决了这个问题的证明。但由于它优美的外形及包含的深刻内涵，引起了人们广泛的兴趣，100多年来研究者众多，给
