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1、1,控制系统的数学模型,第二章,2,一、控制系统的时域数学模型,二、控制系统的复数域数学模型,三、控制系统的结构图与信号流图,本章内容：,3,控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式。,模型,静态数学模型,动态数学模型,建模方法,分析法,实验法,4,本章要求:,1、了解建立系统微分方程的一般方法；,2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；,3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；,4、明确传递函数与微分方程之间的关系；,5、能熟练地进行结构图等效变换；,6、明确结构图与信号流图之间的关系；,7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；,8、掌握从不同途径求传递函数的方法。,5,一、控
2、制系统的时域数学模型,主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建立和求解方法。,1、 线性元件的微分方程 以举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元 件等微分方程的列写。,6,例1: 图示电枢控制直流 电动机原理图，列出 以 为输入量， 为输出量的微分方程。 解：,一、控制系统的时域数学模型,7,由于电枢电感 较小，通常可忽略不计，上式可简化为：,式中：,如果忽略 和 ，上式可进一步简化为：,一、控制系统的时域数学模型,8,例2: 图示RLC无源网络，列出以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。 解：,消去中间变量得：,一、控制系统的时域数学模型,9,例3：图示弹簧-质量-阻
3、尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有,式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力,一、控制系统的时域数学模型,10,比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程,相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。 便于用简单系统去研究相似的复杂系统。,一、控制系统的时域数学模型,11,2、控制系统微分方程的建立,基本步骤：,一、控制系统的时域数学模型,（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定 系统中各个基本部件（元件）,（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元
4、件的负载效应,（3）消去中间变量,12,举例4：,速度控制系统的微分方程,一、控制系统的时域数学模型,13,控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、 运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、 测速发电机,运放1,运放2,功放,直流电动机,一、控制系统的时域数学模型,14,减速器（齿轮系）,测速发电机,消去中间变量,得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）,一、控制系统的时域数学模型,15,3、线性系统的特性,1、线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。,2、叠加原理具有可叠加性和均匀性。,例如：有线性微分方程,若 时，解为：,若 时，解为：,一、控制系统的
5、时域数学模型,16,可叠加性： 当 时， 微分方程的解为,均匀性： 当 时，A为常数， 微分方程的解,一、控制系统的时域数学模型,17,4、线性定常微分方程的求解,直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解(零输入响应+零状态响应),变换域求解法：Laplace 变换方法,一、控制系统的时域数学模型,18,一、控制系统的时域数学模型,例5 在上第二例中，若已知L=1H，C=1F，R=1，且电容上初始电压 ，初始电流i（0）0.1A，电源电压 ，试求电路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。,19,一、控制系统的时域数学模型,解：在上第二例中已求得网络微分方程为 令， ，且,20,一、控制系统的时域
6、数学模型,分别对各项求拉氏变换并整理后有,21,一、控制系统的时域数学模型,由于 对 求拉氏反变换，得,22,一、控制系统的时域数学模型,如果输入电压是单位脉冲量 ， 则单位脉冲响应为,23,一、控制系统的时域数学模型,利用拉氏变换的初值定理， 的初值为,利用拉氏变换的中值定理， 的中值为,24,一、控制系统的时域数学模型,用拉氏求解线性定常微分方程的过程可归结如下：,1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量S的代数方程；,2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；,3)对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,25,
7、5、非线性元件微分方程的线性化 切线法或小偏差法,切线法或小偏差法： 是在一个很小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。,一、控制系统的时域数学模型,26,一、控制系统的时域数学模型,设连续变化的非线性函数y=f(x)，如下图，取某平衡状态A为 工作点，对应有； 当时 ，有 。 设函数 y=f(x)在()点连续可微， 则将它在该点附近用泰勒 级数展开,27,一、控制系统的时域数学模型,当增量( )很小时，略去其高次幂项，则有 令 = ， ， ， 则线性化方程可简记为 略去增量符号 ，便得函数y=f(x)在工作点A附近的线性化方程为 y=Kx 式中， ，是
8、比例系数，它是函数f(x)在A点的切线斜率。,28,6、运动的模态,运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自由运动的振型函数。 从数学上讲，即是n阶齐次微分方程的通解所包含 的振型函数。 （1）如果n阶微分方程的特征根无重根，分别为 ， 则有运动的模态为： 等函数；,一、控制系统的时域数学模型,29,（2）如果n阶微分方程的特征根中有多重根,则有运动的模态为： 等函数；,（3）如果n阶微分方程的特征根中有共轭复根,则有运动的模态为： 和 ，或 写成 和,一、控制系统的时域数学模型,30,一、控制系统的时域数学模型,在数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分
9、方程的特征根所决定，它代表自由运动。 在例5中，徽分方程的特征根 ，故 其共轭复模态是 与 ，或 与 ， 而微分方程的齐次通解是,31,一、控制系统的时域数学模型,由给定的初始条件 可求得 故得 这个结果与例5中解 的零输入分量 是一致的,32,二、控制系统的复数域数学模型,复数域数学模型传递函数 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念 频率法、根轨迹法,33,1、 传递函数的定义与性质,（1）定义 传递函数：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 由n阶线性微分方程推出传递函数的方法：,二、控制系统的复数域数学模型,34,在零初始条件下，由传递函数的定义得,下面举
10、例说明,二、控制系统的复数域数学模型,35,二、控制系统的复数域数学模型,例6 试求例2 RLC无源网络的传递函数 。 解 RLC网络的微分方程用式(2-1)表示为 在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令 ，可得s的代数方程为,36,二、控制系统的复数域数学模型,由传递函数定义，网络传递函数为：,故将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s用算苻d/dt置换便得微分方程。,37,（2）性质,1）传递函数是复变量s的有理真分式函数； 2）传递函数仅与系统自身的结构和参数有关， 与系统输入量形式无关； 3）传递函数与微分方程有相通性，可相互转换；
11、 4）传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。,二、控制系统的复数域数学模型,38,例7 求电枢控制直流电动机传递函数,解：,二、控制系统的复数域数学模型,39,根据线性叠加原理，分别研究 到 和 到 的传递函数,二、控制系统的复数域数学模型,40,电动机转速 在电枢电压 和负载转 矩同时作用下的响应特性为：,二、控制系统的复数域数学模型,41,2、传递函数的零点和极点,（1）传递函数表示形式为：,二、控制系统的复数域数学模型,42,上式中， (i=1,2,.,m)是传递函数的零点； (j=1,2,.,n)是传递函数的极点； 为传递系数或根轨迹增益。 复平面上零点用“ ”表示，极点用“ ”表示，
12、 称为零极点分布图。,二、控制系统的复数域数学模型,43,（2）传递函数表示形式为：,式中， 、 称为时间常数； 为传递系数或增益。,二、控制系统的复数域数学模型,44,3.传递函数的零点和极点对输出的影响,（1）传递函数的极点可受输入函数的激发， 在输出响应中形成自由运动模态。 现举例说明：,二、控制系统的复数域数学模型,45,二、控制系统的复数域数学模型,由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件响应）也会包含这些自由运动的模态。 设某系统传递函数为,显然，其极点 , ,零点 ， 自由运动的模态是 和 。,46,二、控制系
13、统的复数域数学模型,当 ，即时 ，可求得系统的零初始条件响应为,=,式中，前两项具有与输入函数r（t）相同的模态，后两项中包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可以认为这两项是受输入函数激而形成的。,47,（2）传递函数的零点不形成自由运动模态，却影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状。 现举例说明：,二、控制系统的复数域数学模型,设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为,，,48,二、控制系统的复数域数学模型,其极点都是-1和-2， 的零点 ， 的零点 。,在零初始条件下，它们的价跃响应分别是,49,二、控制系统的复数域数学
14、模型,上述结果表明，模态 和 在两个系统的单位价跃响应中所占的比重是不同的，它取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。在极点相同的情况下， 的零点 接近原点，距两个极点的距离都比较远，因此，两个模态所占比重大且零点 的作用明显；而 的零点 距原点较远且与两个极点均相距较近，因此两个模态所占比重就小。这样，尽管两个系统的模态相同，但由于零点的位置不同，其单位价跃响应 和 却具有不同的形状。,50,二、控制系统的复数域数学模型,51,4 、 典型元部件的传递函数,电位器 一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线绕式圆环电位器（角位移型） 空载时的传递函数为：,二、控
15、制系统的复数域数学模型,52,由一对电位器组构成的误差检测器，空载时的传递函数为：,二、控制系统的复数域数学模型,53,当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载效应时的电位器输入输出关系见下式，(只有当 时，可近似为线形关系),二、控制系统的复数域数学模型,54,测速发电机 测量角速度并转换为电压量的装置， 一般有交流和直流两种。 *永磁式直流测速发电机：,或,二、控制系统的复数域数学模型,55,交流测速发电机 在定子上有两个互相垂直放置的线圈。激磁线圈：输入频率一定、电压一定。输出线圈：产生与角速度成比例的交流电压,电枢控制直流伺服电动机：,二、控制系统的复数域数学模型,56,无源网络,二、控制系统的复数域数学模型,无源网络通常由电阻、电容和电感组成，可以用两种方法求取无源网络的传递函数，一种方法是先列写网络的微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，从而得到输出变量与输入变量之间的传递函数；另一种方法是引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。,图中，由图可直接写出电路的传递函数为,57,二、控制系统的复数域数学模型,注意，求取无源网络传递函数时，一般假设网络输出端接有无穷大负载阻抗，输入内阻为零，否则应考虑负载效应。 下面举例说明负载效应,如图，两个RC网络不相连接时，可视为空载，其传递函数分别是,58,二、控制系统的
