《2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第43讲 抛物线（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第43讲 抛物线（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第43讲 抛物线一、 考情分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.二、 知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范
2、围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下微点提醒1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径.三、 经典例题考点一抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知抛物线x22y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|BF|2，则y1xy2x()A.4 B.6 C.8 D.10(2)若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A.2 B. C. D.3解析(1)由
3、抛物线定义知|AF|y1，|BF|y2，|AF|BF|y1y22，又知x2y1，x2y2，xx2(y1y2)4，y1xy2x(y1y2)(xx)246.(2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离，点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x4y70的距离，即2.答案(1)B(2)A规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0|或|PF|y0|.考点二
4、抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)抛物线C：y24x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当时，AMF的面积为()A.1 B. C.2 D.2(2)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为()A.y2x B.y2xC.y2x D.y2x解析(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P，则，则cos AMP，又0MAP0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d，解得k2，由得或把代入抛物线方程，得2p，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x.答案(1)C(2)C规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法是待
5、定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.考点三直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2
6、)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，显然方程有两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.又x22py得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，则有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，切线AN的方程为yANx，同理切线BN的方程为yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1).|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.规律方法1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物
7、线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.方法技巧1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；|AB|x1x2p；(3)若F为抛物线焦点，则有.3.认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要
8、先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0).4.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.四、 课时作业1（2020江苏省镇江中学开学考试）抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】即，所以其焦点在y轴正半轴，坐标为，故选:D.2（2019福建省泰宁第一中学月考）抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()ABCD或【答案】B【解析】根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选B.3（2020云南昆明一中高三其他（理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（ ）ABCD1【答案】C【解
9、析】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，又因为，所以，故选：C.4（2020沭阳县修远中学月考）抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为，则的值为（ ）AB2CD4【答案】C【解析】因为由焦半径公式可知，所以，将点代入抛物线方程中，可得，故选：C.5（2019黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文）抛物线的准线方程为，则实数的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：抛物线的标准方程为，其准线方程为，由题意得，解得，故选：A6（2020湖北宜昌高二期末）抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】，抛物线的准线方程为，即，故选A .7（2020宁夏吴
10、忠中学期末（文）若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为( )ABCD【答案】C【解析】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.8（2019湖北东西湖武汉为明学校月考）对抛物线，下列描述正确的是A开口向上，焦点为B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为D开口向右，焦点为【答案】B【解析】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B9（2019广东月考（理）已知抛物线与双曲线的焦点相同，双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，设，双曲线的离心率为.10（2020
11、长春市第八中学一模（理）已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( )ABCD【答案】B【解析】由抛物线方程，得其准线方程为：，设，由抛物线的性质得，中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为：.11（2020四川武侯成都七中高三开学考试（理）抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】解：依题意，得F（1,0），抛物线的准线为x1，线段AF的长等于点A到准线x1的距离，因为点到直线的距离是线段长度的2倍，所以，点到直线的距离是点A到准线x1的距离的2倍设A点横坐标为，是32（1），解得：1，所
12、以，AF1（1）212（2020梅河口市第五中学其他（文）已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：设，则根据题意及抛物线的定义可得:，解得，代入抛物线方程得：，又点在第四象限，所以，故.13（2020陕西莲湖西安一中月考（理）已知为抛物线的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为（ ）A4BC8D16【答案】A【解析】因为为抛物线的焦点，所以，设，由抛物线的性质得：，故到的距离为4.14（2020江苏海陵泰州中学开学考试）已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）ABC或D或【答案】C【解析】当焦点在x轴上时，根据，
13、可得焦点坐标为得 ，则抛物线的标准方程为，当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，则抛物线的标准方程为.故选：C15（2020安徽省太和中学开学考试（文）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上三个不同的点，若，则有（ ）ABCD【答案】C【解析】，故选：C16（2020黑龙江萨尔图大庆实验中学其他（文）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）ABC3D9【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点为，因为，可得,如图所示，过点作直线于点，则，所以在直角中，所以，所以直线的方程为，联立，整理得，解得或，由抛物线的定义可知.故选：B.17（2020梅河口市第五中学其他（理）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于
