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1、做而悟的数学思考-学最适合你的数学思维训练培训八上数学第5讲：等腰三角形【思维入门】例1：如图，BD是等腰ABC底边AC上的高线，DEBC角AB于点E，求证：BED是等腰三角形。例11：如图，ABC的平分线BF与ABC中ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DFBC，交AB于点D，交AC于点E，（1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明。【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30，则等腰三角形的顶角为 。例3：如图，在ABC中，ABAC，BAD20，且ADAE，则CDE 。例4：如图，在ABC中，ABAC，ADDE，B
2、AD20，EDC10，则DAE的度数为 。【思维升华】例5：老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BMCN，AM，BN交于点Q，求证：BQM60。（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中“BMCN”与“BQM60”的位置交换，得到的是否仍是真命题？若将题中的点M，N分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到BQM60？若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上” ，是否仍能得到BQM60？请你作出判断，在下列横线上填
3、写“是”或“否”： ； ； 。对，的判断，选择一个给出证明。【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，ABC中，设A，B，C。请探究ABC中个角度有怎样的关系才能被分割成两个等腰三角形，并探究如何分割。学力思维训练A组 务实基础1、已知等腰三角形的一条边长等于6，领一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）A、9 B、12 C、15 D、12或152、如图，在ABC中，ABAC，A36，BD，CE分别为
4、ABC与ACB的角平分线且相较于点F，则图中的等腰三角形有（ ）A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A、6个 B、7个 C、8个 D、9个4、如图所示，已知ABC和CDE均是等边三角形，点B，C，E在通一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC，其中正确的结论个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5、已
5、知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成2：1两部分，已知三角形的底边长为5，则腰长为 。6、如图，在ABC中，EGBC，BF平分ABC，CF平分ACB，AB10，AC12，AEG的周长是 （第6题图） （第7题图） 7、如图，在ABC中，ACB100，ACAE，BCBD，则DCE的度数为 8、请在下图的方格中任意画出三个以AB为腰的等腰三角形ABC。（要求：三个三角形分别为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形）9、如图所示，把一块直角三角尺ACB绕着30角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合。（1）三角尺旋转了多少度？（2）连结CD，试判断CBD的形状。（3）求BDC的度数
6、。10、已知：如图，OA平分BAC，12，求证：ABC是等腰三角形。11、已知一个等腰三角形的三边长分别是x，2x1，5x3，那么这个三角形的周长是多少？12、如图，ABC中，ACB90，将ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图）.（1）在图中画出折痕所在的直线l。设直线l与AB，AC分别相交于点D，E，连结CD。（画图工具不限，不要求写作法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形（不要求证明）。13、如图（1）等边ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。（1）DBC和EAC会全等吗？请说说你的理由。（2）试说明AEBC的理由。（3）如
7、图（2），将（1）中动点D运动到边BA的延长线上，所作EDC仍为等边三角形，是否仍有AEBC？证明你的猜想。B组 瞄准中考1、（济宁中考）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）A、15cm B、16cm C、17cm D、16cm或17cm2、（大庆中考）如图，在ABC中，ACBCAB，点P为ABC所在平面内一点，且点P与ABC的任意两个顶点构成的PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）A、3个 B、4个 C、6个 D、7个 （第2题图） （第3题图） （第5题图） （第6题图）3、（西宁中考）如图，在等边ABC中，D为B
8、C边上一点，E为AC边上一点，且ADBEDC120，BD3，CE2，则ABC的边长为（ ）A、9 B、12 C、16 D、184、（宿迁中考）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 5、（邵阳中考）如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，点E为AC的中点，请你写出一个正确的结论： 6、（无锡中考）如图，OBOC，B80，则AOD 7、（宁波中考）（1）如图1，ABC中，C90，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC分割成两个等腰三角形。（不写作法，但须保留作图痕迹）（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示，请你判断：能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个
9、等腰三角形顶角的度数。8、（株洲中考）如图，ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连结CE。（1）求ECD的度数；（2）若CE5，求BC的长。9、（玉溪中考）将两个等边ABC和DEF（DEAB）按如图所示摆放，点D是BC上一点（除点B，点C外）。把DEF绕顶点D按顺时针方向旋转一定的角度，使得边DE，DF与ABC的边（边BC除外）分别相交于点M，N。（1）BMD和CDN相等吗？（2）画出使BMD和CDN相等的所有情况的图形。（3）在题（2）中任选一种图形说明BMD和CDN相等的理由。10、（沈阳中考）已知：如图所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACD
10、AE，且点B，A，D在一条直线上，连结BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点。（1）求证：BECD；AMN是等腰三角形。（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形，请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立。11、（绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目：小敏同桌小聪讨论后，进行解答：（1）特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出结论：AE BD（填“”，“”或“”）。（2）特例启发，解答题目：题目中，AE与BD的大小关系是：AE BD（填“”，“”或“”）。理由如下：如图2，过点E作EF
11、BC，交AC于点F。（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且DECE。若ABC的边长为1，AE2，求CD的长。（请你直接写出结果）12、（杭州中考）如图，在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。（1）证明：CAECBF；（2）证明：AEBF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为和，如果存在点P，能使得，求ACB的取值范围。C组 冲击金牌1、将一根长度为11的铅丝折成三段，再
12、首尾相接围成一个等腰三角形，如果要求所围成的等腰三角形的边长都是整数，那么其底边可取的不同长度有（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个2、意识ABC的三边长分别为a、b、c，且，则ABC一定是（ ）A、等边三角形 B、腰长为a的等腰三角形C、底边长为a的等腰三角形 D、等腰直角三角形3、如图，若ABAC，BGBH，AKKG，则BAC的度数为（ ）A、30 B、32 C、36 D、404、有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度。5、如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于点F，求证：AFEF6、如图，已知等边ABC中，DEBC，FGBC，现将等边ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点和点，连结，。（1）求证：AFG是正三角形；（2）求证：；（3）设，交FG与M，N两点，若DEcm，FG3cm，求的周长。 - 7 -让学习更有
