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1、二维定常不可压缩N-S方程无H纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。当考虑流体的黏性时，作 用在流体质点上的力除了质量力、法向应力(垂直于作用面的压力)夕卜，还有 与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团 上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将
2、方程无量纲化有以下几点好处：(1) 方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算 速度；(2) 通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为 某个特征参数，这样可以降低计算难度；(3) 防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；(4) 将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。相似原理指出，两个流动若相似必满
3、足一定条件，即满足几何相似、运动 相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找 出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对丁封闭环境内的流动,当雷诺数小丁2300时的流动为层流，能用N-S方程表示；当雷诺数大丁4000时的流动为湍流，不能用 N-S方程表示。二、二维定
4、常不可压缩流体的N-S方程参照工程流体力学基础1,在流场中任取一个平面六面体微团，作用在六面体上的力有质量力，作用在表面上的力除了法向力外，还有切向力，用 p表示切向力，用T表示切向力。对丁这个六面体，每个面上都有三个应力分 量，共有18个应力分量。根据牛顿第二定律， 可写出沿x轴的运动微分方程:du伽# 1沂户如胡=* + 海 +汶或+ 37)y、z轴的方程类似可得。方程组中仍有多个未知量，不足以进行求解，还必须对应力进行分析， 内摩擦定律，则有：寻找应力之间的关系式。T T = T yx yz zx(2.1)根据达朗伯原理和广义牛顿T = T ZX XZ(2.2)(2.3)最后导出沿x轴的
5、N-S方程:Xdpd2u d7u海+ 房+静+相(2.5)dv 1叩di=Y+Vd2v d2v.豪十况(2.6)(2.4)本文研究的是二维定常不可压缩流体，不考虑z轴方向，以式2.4为参考，得出二维不可压缩定常流动的N-S方程：d2u 萨 W处 的j式中，L 分别是x, y方向的速度，P是流体密度，P是压力，是运动粘 度，X , Y是质量力在x , y方向上的两个分量。三、N-S方程无量纲化两个量能进行比较的前提是它们的量纲分析的基本原理是量纲的和谐性。量纲相同，这就是量纲的和谐性原理，当然，两个量纲为1的量是可以无条件相互比较的。根据量纲的和谐性原则，提出了量纲分析方法：兀定理法：若物理方程
6、 血5 =。，共含有n个物理量，其中有 k个是 基本量，在保持量纲和谐性的前提下，这个物理方程可以简化为各个物理量所构成的量纲为1的组合。fd2u 。敏 + V2屁 dy 1二维定常不可压缩流体流动的N-S方程：du伽=x -atpoxdvd2 v1dt = Y pdx + v +心 土 dx dy 选取特征量为：特征长度L,特征速度 U。本文限丁讨论不可压缩流动，流体密度和黏度在全流场保持常数，用基本变量除其他变量，得到其他变量的无量纲数：5- UtVv =u(3.1)(3.2)工=1(3.3)t yy =i(3.4)ppy2(3.5)* tt L/U(3.6)X*XU2 / L(3.7)广
7、YU2 /L(3.8)举3.1和3.2说明无量纲化过程，dud(u * * U)U di/U du*dt d(tr L/U) L/U*dtr (3.9)d?u d dud ii(i(+ * U)/ - dx(dx)-W *L)虹“)-改广2(3.10)按照上式一样将各个无量纲数代入到N-S方程中，便得到了二维定常不可压缩无量纲的 N-S方程组：U d/ U? +lpU希p*U (d2u *)2u+1(3.11)u 如“ipu%p*yd7v a)*)(3.12)(3.13)(3.14)17而？=/ _儿护+&尸+疗J整理得到最终的式子：UL式中， =是雷诺数，其物理意义为惯性力与粘性力的比值。因
8、此，如果模型与实际流动可以由这个方程组描述，并且它们满足几何相似、运动相似和雷诺相似准则数，那么可以认为原型与模型之间的流动是相似的。四、相似实验4.1相似准则选取对丁模型试验设计， 如果在原型和模型之间严格满足相似律，则两个流动就是相似的，模型试验的结果，按照相似律完全可以反映出原型的流动情况。在相似律中，几何相似是通过加工来完成的，运动相似可以由动力相似反映出来，但要想使流动完全相似是很难办到的，相似准则越多，模型实验的设计就 越困难，甚至无法满足条件。在工程实际中，模型试验往往只能满足部分相似 准则，称之为局部相似。这种近似的模型试验，是根据对流动现象的分析，以及相似准则的物理意义，使原
9、型与模型之间满足最重要的相似准则。比如对丁管中流动等以黏性为主的流动，应满足雷诺相似准则；而对丁船舶或明渠类等以重力为主的流动，应满足富鲁德相似准则。对丁二维定常不可压缩流动N-S方程，无量纲化后包含雷诺数，这说明只要二维定常不可压缩流动的原型与模型之间满足$诺准则，就能达成动力相似的条件。4.2设计相似实验因雷诺准则也是黏性力相似准则，主要反映流体黏性力，管中流动试验是以黏性为主的流动，所以在此设计一个直管道内的流动。密度为P、运动粘度为*的黏性流体，以速度V流经长为、直径为d的直管道，管内两端出口的压强差为上。首先写出相关物理量的函数式：f（AP、奴 I. V, p、v、A）= 0(4.1
10、)式中的&为管壁粗糙度。应该兀定理对上述式子无量纲化，得到：AF I Vd厅=F&EVi(4.2)乙为管壁的相对粗糙度，”为雷诺数。根据式4.2可知，在直管道流动模型设计中，要设计相似实验，需要满足四组无量纲量相似，$诺数、管壁相对粗糙度、长度和1 hd. d7 1 Pp pA1/ 管壁粗糙度的相似由d直接确定，当选用相同的流体时，1一2,贝U可以得出：d = L f tLZV, = TV iP 2 V? (AP), = pl V1根据3,当雷诺数超过 4000时，惯性力远大丁黏性力，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，阻力系数与雷诺数无关，本文中的N-S方程不再适用丁管内流动，此时可以
11、忽略黏性力的影响。流动进入自动模化区，此 时不必考虑模型的雷诺数与原型是否相等，只要模型与原型所处同一模化区即可。五、结论本文对二维不可压缩黏性流体的N-S方程进行了无量纲化分析，分析了量纲处理的优越性并结合流动相似性原理，以直管流动试验为对象进行分析， 发现无量纲化 N-S方程对丁简化方程形式，理解方程本质，减少计算量上提 供了很好的帮助。参考文献1 韩占忠，王国玉.工程流体力学基础M.北京：北京理工大学出版社，2012.2 王敞亮.浅析Navier-Stokes方程组的无量纲化J.中国高新技术企业, 2016(3):61-62.3 李进.基丁 N-S方程的高效实时烟雾模拟方法改进D.燕山大学,2010.
