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1、第1页 共 22 页 人教版高中数学选修1-1 教学讲义 年级 ：上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ： 课题 导数的应用二函数的极值 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 导数的应用二函数的极值 【学习目标】1. 理解极值的概念和极值点的意义； 2. 会用导数求函数的极大值、极小值； 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值； 4. 掌握函数极值与最值的简单应用. 【要点梳理】 要点一：函数的极值 函数的极值的定义： 一般地，设函数)(xf在点 0 xx及其附近有定义， （ 1）若对 0 x附近的所有点，都有)()( 0 xfx
2、f，则称函数)(xf在 0 x处取极大值，记作 0 ()yf x 极大 ；并把 0 x称为函数)(xf的一个极大值点. （ 2）若对 0 x附近的所有点，都有)()( 0 xfxf，则称函数)(xf在 0 x处取极小值，记作 0 ()yf x 极小 ；并把 0 x称为函数)(xf的一个极小值点. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 第2页 共 22 页 要点诠释： 由函数的极值定义可知： 在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x) 在 x=x0及其附近有定义，否则无从比较 . 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个
3、定义域内可能有多个 极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它 在函数的整个的定义域内最大或最小. 极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区 间上的最小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可 能在区间的内部，也可能在区间的端点. 用导数求函数极值的的基本步骤： （ 1）确定函数的定义域； （ 2）求导数)(xf； （ 3）求方程0)(xf的根； （ 4）检查( )fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x) 在这个根处
4、取得极大值；如果左负右正， 则 f(x) 在这个根处取得极小值.（最好通过列表法） 要点诠释： 可导函数的极值点一定是导函数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点. 即 0 ()0fx是可导函数 )(xf在点 0 x取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x 3，在 x=0 处， (0)0f，但 x=0 不是函数的极值点. 可导函数)(xf在点 0 x取得极值的充要条件是 0 ()0fx ，且在 0 x两侧)(xf的符号相异。 要点二：函数的最值 函数的最大值与最小值定理 若函数( )yfx在闭区间,ba上连续，则)(xf在,ba上必有最大值和最小值；在开区间),(ba内连续的 函数)(x
5、f不一定有最大值与最小值. 如 1 ( )(0)f xx x . 要点诠释： 函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得； 函数的极值可以有多个，但最值只有一个. 求函数最值的的基本步骤： 第3页 共 22 页 若函数( )yf x在闭区间,ba有定义，在开区间( , )a b内有导数，则求函数( )yf x在,ba上的最大值 和最小值的步骤如下： （ 1）求函数)(xf在),(ba内的导数)(xf； （ 2）求方程0)(xf在),(ba内的根； （ 3）求在),(ba内所有使0)(xf的点的函数值及)(xf在闭区间端点处的函数值)(af，)(bf； （ 4）比较上面所求的值，其中最大者
6、为函数( )yf x在闭区间,ba上的最大值，最小者为函数( )yf x 在闭区间,ba上的最小值 . 要点诠释： 求函数的最值时，不需要对导数为0 的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0 的点和端点的函数 值进行比较即可； 若)(xf在开区间),(ba内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 最值与极值的区别与联系 函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概 念. 最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值. 函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而
7、得出的（具有相对性），是局部的概念； 极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小） 值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三：函数极值与最值的简单应用 不等式恒成立，求参数范围问题 一些含参不等式，一般形如( ,)0f x m， 若 能 隔 离 参 数 ， 即 可 化 为 ：( )( )mg xmg x（或）的 形 式 . 若 其 恒 成 立 ， 则 可 转 化 成 maxmax ( )( )mg xmg x（或） ， 从而转化为求函数( )g x的最
8、值问题 . 若不能隔离参数， 就是求含参函数( ,)fx m的最小值 min ( ,)f x m ， 使 min ( ,)0f x m . 所以仍为求函数( )g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论. 证不等式问题 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为( )( )fxg x ， 则可化为( )( )0f xg x ， 一般设 第4页 共 22 页 ( )( )( )F xfxg x ， 然后求( )F x的最小值 min ( )F x ， 证 min ( )0F x即可 . 所以证不等式问题也可转化为 求函数最小值问题. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
9、 一般可转化为方程( )( )f xg x的问题，即( )( )0f xg x的解的个数问题， 我们可以设( )( )( )F xf xg x，然后求出( )F x的极大值、 极小值， 根据解的个数讨论极大值、极小值与0 的大小关系即可. 所以此类问题可转化为求函数的极值问题. 【典型例题】 类型一：求函数的极值 例 1.下列函数的极值。 （ 1） 32 ( )fxxxxa； （2） 2 2 ( )2 1 x fx x . 【解析】（ 1）( )fx=3 2 x2x1， 若( )fx=0，则x= 1 3 ，x=1， 当x变化时，( )fx，( )f x变化情况如下表： x(， 1 3 ) 1
10、3 ( 1 3 ，1) 1 (1， +) ( )fx + 0 0 + ( )f x Z 极大值 极小值 Z ( )f x的极大值是 15 () 327 fa，极小值是(1)1fa . （ 2）函数的定义域为R， 22 2222 2(1)42(1)(1) ( ) (1)(1) xxxx fx xx ， 令( )0fx，得 x=1 或 x=1， 当 x 变化时，( )fx，( )f x变化状态如下表： x （ ，1）1（1，1）1 （1，+） ( )fx 0 + 0 第5页 共 22 页 ( )f x极小值 3极大值 1 由上表可以看出，当x=1 时，函数有极小值，且 2 ( 1)23 2 f，
11、当 x=1 时，函数有极大值，且 2 (1)21 2 f. 【总结升华】解答本题时应注意 0 ()0fx只是函数( )f x在 0 x处有极值的必要条件，如果再加上 0 x左右 导数的符号相反，方能断定函数在 0 x处取得极值 . 在解题上， 错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误， 要注意 . 举一反三： 【变式 1】 讨论函数 432 10 ( )21 3 f xxxx（xR）的单调性并求极值 【答案】 32 ( )41042 (21)(2)fxxxxxxx 令( )0fx，解得 x1=0， x2= 1 2 , x3=2 。 当 x 变化时，( )fx，( )f x变化状态如下表： x
12、 （ ，0）0 （0， 1 2 ） 1 2 （ 1 2 ，2）2 （2，+） ( )fx 0 + 0 0 + ( )f x 1 55 48 5 3 由上表可以看出，( )f x在（ ，0）和（ 1 2 ，2）上为减函数，在（0， 1 2 ）和（ 2，+）上 为增函数， 当 x=0 时，函数有极小值(0)1f；当 x=2 时，函数有极小值 5 (2) 3 f； 当 x= 1 2 时，函数有极大值 155 () 248 f. 【变式 2】 求下列函数的极值： （ 1） 2 ( ) x f xx e；（2） 3 2 2 ( ) 2(1) x f x x . 【答案】（ 1）函数的定义域为R， 22
13、( )2()2(2) xxxxx fxxexexxex exx e， 第6页 共 22 页 令( )0fx，得 x=0 或 x=2， 当 x 变化时，( )fx，( )f x变化状态如下表： x （ ，0）0 （ 0，2）2 （2，+） ( )fx 0 + 0 ( )f x极小值 0 极大值 4e 2 由上表可以看出，当x=0 时，函数有极小值，且(0)0f； 当 x=2 时，函数有极大值，且 2 4 (2)f e . （2）函数定义域为（，1）（ 1，+）， 2 3 (2) (1) ( ) 2(1) xx fx x ， 令( )0fx得 x1=1， x2=2。 当 x 变化时，( )fx，(
14、 )f x的变化情况如下表： x （ ， 1）1（1， 1）1 （1，2）2 （2，+） ( )fx+ 0 + 0 + ( )f x 3 8 3 当 x=1时，函数有极大值 3 ( 1) 8 f； 函数没有极小值. 【变式 3】函数( )f x的定义域为区间（a，b），导函数( )fx在（ a，b）内的图如图所示，则函数( )f x在 （a，b）内的极小值有（） 第7页 共 22 页 A1 个B2 个C3 个D 4 个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数( )f x的极小值点，故选A. 类型二：函数极值的逆向应用 例 2. 设函数 32 ( )f xxaxbxc的图象如图所示，且与y0
15、在原点相切，若函数的极小值为- 4 （ 1）求 a，b，c 的值； （ 2）求函数的递减区间 【思路点拨】 观察原函数的图象，易知 c0，同时要抓住x0 是函数的一个极大值点，即(0)0f再结合 条件函数的极小值为- 4，来确定关系式. 【解析】（ 1）图象过原点，c0， 2 ( )32fxxaxb，因图象与y0 相切， (0)30200fab， b0， 2 ( )32(32 )fxxaxxxa， 令( )0fx得 x0 或 2 3 a x， 当 2 3 xa时，函数有极小值- 4， 32 22 4 33 aaa ，解得 a- 3 所求的 a，b，c 的值为 a- 3，bc0 （ 2）由（ 1
16、）知 32 ( )3f xxx，且( )3 (2)fxx x， 令( )0fx，解得 x0 或 x2 当 x 0 或 x2 时，( )0fx；当 0 x2 时，( )0fx， 函数( )f x的递减区间为( 0，2) 【总结升华】根据图象特点结合存在极值的条件，建立方程、方程组求解 举一反三： 第8页 共 22 页 【变式】已知函数 53 ( )1f xxaxbx，当且仅当x=1， x=1 时取得极值，且极大值比极小值大4. （1）求 a、b 的值； （2）求( )f x的极大值和极小值. 【答案】 （1） 53 ( )1f xxaxbx的定义域为R， 42 ( )53fxxaxb， x=1时有极值，5+3a+b=0 ， b=3a5， 代入( )fx得 4242 ( )53355(1)3 (1)fxxaxaxa x 222 (1)5(1)3 (1)(1)(535)xxaxxxa ( )f x仅当 x=1时有极值，5x2+3a+5 0 对任意 x 成立， 3a+50， 5
