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1、1 2020年中考数学专题讲座二：新概念型问题 一、中考专题诠释 所谓 “ 新概念 ” 型问题， 主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推 理、迁移的一种题型. “新概念 ” 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视 学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲 “ 新概念型专题” 关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新概念 例 1 （2012?永
2、州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33， 就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2，4， 6，8，10 就 是一个等差数列，它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列1，3，9，19，33， ，它的后一个数 与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14， ，这是一个公差为4 的等差数列，所以， 数列 1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3，7，13， 的第五个数应
3、是 思路分析： 由于 3-1=2， 7-3=4， 13-7=6，由此得出相邻两数之差依次大2，故 13 的后 一个数比13 大 8 解答：解：由数字规律可知，第四个数13，设第五个数为x， 则 x-13=8，解得 x=21，即第五个数为21， 故答案为： 21 点评： 本题考查了数字变化规律类问题关键是确定二阶等差数列的公差为2 对应训练 1 （ 2012?自贡）若x 是不等于1 的实数，我们把 1 1x 称为 x 的差倒数，如2 的差倒数是 1 12 =-1，-1 的差倒数为 1 1( 1) = 1 2 ，现已知x1=- 1 3 ，x2是 x1的差倒数， x3是 x2的差 倒数， x4是 x
4、3的差倒数， ，依次类推，则 x2012= 考点二：运算题型中的新概念 例 2 （2012?菏泽） 将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ab cd ， 概念 ab cd =ad-bc， 上述记号就叫做2 阶行列式 若 11 11 xx xx =8， 则 x= 思路分析： 根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为 x 的值 解： 根据题意化简 1 1 11 xx xx =8，得：（x+1） 2-（1-x）2=8， 2 整理得： x2+2x+1-（1-2x+x 2）-8=0，即 4x=8， 解得： x=2 故答案为： 2 点评：
5、 此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去 括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键 对应训练 2 （ 2012?株洲）若（ x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（ 4，5）?（6，8）= 考点三：探索题型中的新概念 例 3 （2012?南京）如图， A、B 是O 上的两个定点，P是 O 上的动点（ P 不与 A、B 重合） 、我们称 APB 是 O 上关于点A、 B 的滑动角 （1）已知 APB 是O 上关于点 A、B 的滑动角， 若 AB 是O 的直径，则 APB= ； 若O 的半径是1，AB=，求 APB 的度
6、数； （2）已知 O2是O1外一点，以 O2为圆心作一个圆与O1相交于 A、B 两点， APB 是 O1上关于点A、B 的滑动角，直线PA、PB 分别交 O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与 点 B 均不重合），连接 AN，试探索 APB 与MAN 、ANB 之间的数量关系 思路分析： （1） 根据直径所对的圆周角等于90 即可求解； 根据勾股定理的逆定理可得AOB=90 ，再分点 P在优弧上；点 P 在劣弧上两种情 况讨论求解； （2）根据点 P在O1上的位置分为四种情况得到 APB 与MAN 、ANB 之间的数量关 系 解： （1） 若 AB 是O 的直径，则 APB=90 如图，
7、连接AB、 OA、OB 在 AOB 中， OA=OB=1 AB=， OA 2+OB2=AB2 AOB=90 当点 P 在优弧上时， AP1B= AOB=45 ； 当点 P 在劣弧上时， AP2B= （ 360 AOB ） =1356 分 （2）根据点P 在O1上的位置分为以下四种情况 第一种情况：点P 在O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点B 在点 P 与点 N 之间，如图 MAN= APB+ ANB ， 3 APB= MAN ANB ； 第二种情况：点P在O2外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点N 在点 P 与点 B 之间，如图 MAN= APB+ ANP= APB+ （1
8、80 ANB ） ， APB= MAN+ ANB 180 ； 第三种情况：点P在O2外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点B 在点 P 与点 N 之间，如图 APB+ ANB+ MAN=180 ， APB=180 MAN ANB ， 第四种情况：点P在O2内，如图 ， APB= MAN+ ANB 点评： 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大， 注 意分类思想的运用 对应训练 3 （ 2012?陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（ a0 ）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“ 抛物线三角形” （1）“
9、 抛物线三角形 ” 一定是三角形； （2）若抛物线y=-x 2+bx（b0）的 “ 抛物线三角形 ” 是等腰直角三角形，求b 的值； （3）如图， OAB 是抛物线 y=-x 2+bx （b0）的 “ 抛物线三角形” ，是否存在以原点O 为 对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说 明理由 4 考点四：开放题型中的新概念 例 4 （ 2012?北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P1（x1，y1）与 P2（x2，y2） 的“ 非常距离 ” ，给出如下概念： 若|x1-x2| |y1-y2|，则点 P1与点 P2的“ 非常距离 ” 为|x1
10、-x2|； 若|x1-x2|y1-y2|，则点 P1与点 P2的“ 非常距离 ” 为|y1-y2| 例如：点 P1（1，2） ，点 P2（3，5） ，因为 |1-3|2-5|，所以点 P1与点 P2的“ 非常距离 ” 为|2-5|=3， 也就是图1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于y 轴的直线P1Q 与垂直于 x 轴的直线P2Q 交点） （1）已知点A（- 1 2 ，0） ，B 为 y 轴上的一个动点， 若点 A 与点 B 的“ 非常距离 ” 为 2，写出一个满足条件的点B 的坐标； 直接写出点A 与点 B 的“ 非常距离 ” 的最小值； （2）已知 C 是直线
11、y= 3 4 x+3 上的一个动点， 如图 2，点 D 的坐标是（ 0，1） ，求点 C 与点 D 的“ 非常距离 ” 的最小值及相应的点C 的坐 标； 如图 3，E 是以原点O 为圆心， 1 为半径的圆上的一个动点，求点C 与点 E 的“ 非常距离 ” 的最小值及相应的点E 与点 C 的坐标 思路分析：（ 1）根据点B 位于 y 轴上，可以设点B 的坐标为（ 0，y） 由 “ 非常距离 ” 的概 念可以确定 |0-y|=2，据此可以求得y 的值； 设点 B 的坐标为（0， y） 因为 |- 1 2 -0| |0-y|， 所以点 A 与点 B 的“ 非常距离 ” 最小值为 |- 1 2 -0|
12、= 1 2 ； 5 （2）设点 C 的坐标为（ x0， 3 4 x0+3） 根据材料 “ 若|x1-x2| |y1-y2|，则点 P1与点 P2的“ 非常 距离 ” 为|x1-x2| ” 知， C、D 两点的 “ 非常距离 ” 的最小值为 -x0= 3 4 x0+2，据此可以求得点C 的 坐标； 当点 E 在过原点且与直线y= 3 4 x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“ 非常距离 ” 最小，即 E（- 3 5 ， 4 5 ） 解答思路同上 解： （1） B 为 y 轴上的一个动点， 设点 B 的坐标为（ 0， y） |- 1 2 -0|= 1 2 2 ， |0-y|=2， 解得，
13、y=2 或 y=-2； 点 B 的坐标是（ 0，2）或（ 0，-2） ； 点 A 与点 B 的“ 非常距离 ” 的最小值为 1 2 ； （2） C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， 设点 C 的坐标为（ x0， 3 4 x0+3） ， -x0= 3 4 x0+2， 此时， x0=- 8 7 ， 点 C 与点 D 的“ 非常距离 ” 的最小值为： 8 7 ， 此时 C（- 8 7 ， 15 7 ） ； E（- 3 5 ， 4 5 ） - 3 5 -x0= 3 4 x0+3- 4 5 ， 6 解得， x0=- 8 5 ， 则点 C 的坐标为（ - 8 5 ， 9 5 ） ， 最小值为1
14、 点评： 本题考查了一次函数综合题对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件本 题中的 “ 非常距离 ” 的概念是正确解题的关键 对应训练 4 （2012?台州） 请你规定一种适合任意非零实数a，b 的新运算 “ab” ，使得下列算式成立： 12=21=3， （-3）（ -4）=（-4）（ -3）=- 7 6 ， （-3） 5=5（ -3）=- 4 15 ， 你规定的新运算ab= （用 a，b 的一个代数式表示） 考点五：阅读材料题型中的新概念 例 5 （2012?常州）平面上有两条直线AB 、CD 相交于点O，且 BOD=150 （如图），现 按如下要求规定此平面上点的“ 距离坐标 ” ：
15、 （1）点 O 的“ 距离坐标 ” 为（ 0，0） ； （2）在直线CD 上，且到直线AB 的距离为p（ p0）的点的 “ 距离坐标 ” 为（ p，0） ；在直 线 AB 上，且到直线CD 的距离为q（q0）的点的 “ 距离坐标 ” 为（ 0，q） ； （3）到直线AB、 CD 的距离分别为p，q（p0，q0）的点的 “ 距离坐标 ” 为（ p，q） 设 M 为此平面上的点，其“ 距离坐标 ” 为（m，n） ，根据上述对点的“ 距离坐标 ” 的规定，解决 下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： 满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； 满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M
16、 在过点 O 且与直线CD 垂直的直线l 上，求 m 与 n 所满足的关系式 （说明： 图中 OI 长为一个单位长） 思路分析：（ 1）以O 为圆心，以2 为半径作圆，交CD 于两点，则此两点为所求；分 别作 BOC 和 BOD 的角平分线并且反向延长，即可求出答案； （2）过 M 作 MN AB 于 N，根据已知得出OM=n ，MN=m ，求出 NOM=60 ，根据锐角 三角函数得出sin60 = MN OM = m n ，求出即可 解： （1）如图所示： 7 点 M1和 M2为所求； 如图所示： 直线 MN 和直线 EF（O 除外）为所求； （2）如图： 过 M 作 MN AB 于 N， M 的“ 距离坐标 ” 为（ m，n） ， OM=n ， MN=m ， BOD=150 ，直线 lCD， MON=150 -90 =60 ， 在 RtMON 中， sin60 = MN OM = m n ， 即 m 与 n 所满足的关系式是：m= 3 2
