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1、1 2020年中考数学专题讲座二:新概念型问题 一、中考专题诠释 所谓 “ 新概念 ” 型问题, 主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推 理、迁移的一种题型. “新概念 ” 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视 学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲 “ 新概念型专题” 关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法; 二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移 三、中考典例剖析 考点一:规律题型中的新概念 例 1 (2012?永
2、州)我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如1,3,9,19,33, 就是一个数列,如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差如2,4, 6,8,10 就 是一个等差数列,它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 等差数列,则称这个数列为二阶等差数列例如数列1,3,9,19,33, ,它的后一个数 与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14, ,这是一个公差为4 的等差数列,所以, 数列 1,3,9,19,33,是一个二阶等差数列那么,请问二阶等差数列1,3,7,13, 的第五个数应
3、是 思路分析: 由于 3-1=2, 7-3=4, 13-7=6,由此得出相邻两数之差依次大2,故 13 的后 一个数比13 大 8 解答:解:由数字规律可知,第四个数13,设第五个数为x, 则 x-13=8,解得 x=21,即第五个数为21, 故答案为: 21 点评: 本题考查了数字变化规律类问题关键是确定二阶等差数列的公差为2 对应训练 1 ( 2012?自贡)若x 是不等于1 的实数,我们把 1 1x 称为 x 的差倒数,如2 的差倒数是 1 12 =-1,-1 的差倒数为 1 1( 1) = 1 2 ,现已知x1=- 1 3 ,x2是 x1的差倒数, x3是 x2的差 倒数, x4是 x
4、3的差倒数, ,依次类推,则 x2012= 考点二:运算题型中的新概念 例 2 (2012?菏泽) 将 4 个数 a,b,c,d 排成 2 行、2 列,两边各加一条竖直线记成 ab cd , 概念 ab cd =ad-bc, 上述记号就叫做2 阶行列式 若 11 11 xx xx =8, 则 x= 思路分析: 根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程,整理后即可求出方程的解,即为 x 的值 解: 根据题意化简 1 1 11 xx xx =8,得:(x+1) 2-(1-x)2=8, 2 整理得: x2+2x+1-(1-2x+x 2)-8=0,即 4x=8, 解得: x=2 故答案为: 2 点评:
5、 此题考查了整式的混合运算,属于新概念的题型,涉及的知识有:完全平方公式,去 括号、合并同类项法则,根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键 对应训练 2 ( 2012?株洲)若( x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+y1y2,则( 4,5)?(6,8)= 考点三:探索题型中的新概念 例 3 (2012?南京)如图, A、B 是O 上的两个定点,P是 O 上的动点( P 不与 A、B 重合) 、我们称 APB 是 O 上关于点A、 B 的滑动角 (1)已知 APB 是O 上关于点 A、B 的滑动角, 若 AB 是O 的直径,则 APB= ; 若O 的半径是1,AB=,求 APB 的度
6、数; (2)已知 O2是O1外一点,以 O2为圆心作一个圆与O1相交于 A、B 两点, APB 是 O1上关于点A、B 的滑动角,直线PA、PB 分别交 O2于 M、N(点 M 与点 A、点 N 与 点 B 均不重合),连接 AN,试探索 APB 与MAN 、ANB 之间的数量关系 思路分析: (1) 根据直径所对的圆周角等于90 即可求解; 根据勾股定理的逆定理可得AOB=90 ,再分点 P在优弧上;点 P 在劣弧上两种情 况讨论求解; (2)根据点 P在O1上的位置分为四种情况得到 APB 与MAN 、ANB 之间的数量关 系 解: (1) 若 AB 是O 的直径,则 APB=90 如图,
7、连接AB、 OA、OB 在 AOB 中, OA=OB=1 AB=, OA 2+OB2=AB2 AOB=90 当点 P 在优弧上时, AP1B= AOB=45 ; 当点 P 在劣弧上时, AP2B= ( 360 AOB ) =1356 分 (2)根据点P 在O1上的位置分为以下四种情况 第一种情况:点P 在O2 外,且点 A 在点 P 与点 M 之间,点B 在点 P 与点 N 之间,如图 MAN= APB+ ANB , 3 APB= MAN ANB ; 第二种情况:点P在O2外,且点 A 在点 P 与点 M 之间,点N 在点 P 与点 B 之间,如图 MAN= APB+ ANP= APB+ (1
8、80 ANB ) , APB= MAN+ ANB 180 ; 第三种情况:点P在O2外,且点 M 在点 P 与点 A 之间,点B 在点 P 与点 N 之间,如图 APB+ ANB+ MAN=180 , APB=180 MAN ANB , 第四种情况:点P在O2内,如图 , APB= MAN+ ANB 点评: 综合考查了圆周角定理,勾股定理的逆定理,点与圆的位置关系,本题难度较大, 注 意分类思想的运用 对应训练 3 ( 2012?陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c( a0 )与 x 轴有两个交点,那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“ 抛物线三角形” (1)“
9、 抛物线三角形 ” 一定是三角形; (2)若抛物线y=-x 2+bx(b0)的 “ 抛物线三角形 ” 是等腰直角三角形,求b 的值; (3)如图, OAB 是抛物线 y=-x 2+bx (b0)的 “ 抛物线三角形” ,是否存在以原点O 为 对称中心的矩形ABCD ?若存在,求出过O、C、D 三点的抛物线的表达式;若不存在,说 明理由 4 考点四:开放题型中的新概念 例 4 ( 2012?北京)在平面直角坐标系xOy 中,对于任意两点P1(x1,y1)与 P2(x2,y2) 的“ 非常距离 ” ,给出如下概念: 若|x1-x2| |y1-y2|,则点 P1与点 P2的“ 非常距离 ” 为|x1
10、-x2|; 若|x1-x2|y1-y2|,则点 P1与点 P2的“ 非常距离 ” 为|y1-y2| 例如:点 P1(1,2) ,点 P2(3,5) ,因为 |1-3|2-5|,所以点 P1与点 P2的“ 非常距离 ” 为|2-5|=3, 也就是图1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值(点 Q 为垂直于y 轴的直线P1Q 与垂直于 x 轴的直线P2Q 交点) (1)已知点A(- 1 2 ,0) ,B 为 y 轴上的一个动点, 若点 A 与点 B 的“ 非常距离 ” 为 2,写出一个满足条件的点B 的坐标; 直接写出点A 与点 B 的“ 非常距离 ” 的最小值; (2)已知 C 是直线
11、y= 3 4 x+3 上的一个动点, 如图 2,点 D 的坐标是( 0,1) ,求点 C 与点 D 的“ 非常距离 ” 的最小值及相应的点C 的坐 标; 如图 3,E 是以原点O 为圆心, 1 为半径的圆上的一个动点,求点C 与点 E 的“ 非常距离 ” 的最小值及相应的点E 与点 C 的坐标 思路分析:( 1)根据点B 位于 y 轴上,可以设点B 的坐标为( 0,y) 由 “ 非常距离 ” 的概 念可以确定 |0-y|=2,据此可以求得y 的值; 设点 B 的坐标为(0, y) 因为 |- 1 2 -0| |0-y|, 所以点 A 与点 B 的“ 非常距离 ” 最小值为 |- 1 2 -0|
12、= 1 2 ; 5 (2)设点 C 的坐标为( x0, 3 4 x0+3) 根据材料 “ 若|x1-x2| |y1-y2|,则点 P1与点 P2的“ 非常 距离 ” 为|x1-x2| ” 知, C、D 两点的 “ 非常距离 ” 的最小值为 -x0= 3 4 x0+2,据此可以求得点C 的 坐标; 当点 E 在过原点且与直线y= 3 4 x+3 垂直的直线上时,点 C 与点 E 的“ 非常距离 ” 最小,即 E(- 3 5 , 4 5 ) 解答思路同上 解: (1) B 为 y 轴上的一个动点, 设点 B 的坐标为( 0, y) |- 1 2 -0|= 1 2 2 , |0-y|=2, 解得,
13、y=2 或 y=-2; 点 B 的坐标是( 0,2)或( 0,-2) ; 点 A 与点 B 的“ 非常距离 ” 的最小值为 1 2 ; (2) C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点, 设点 C 的坐标为( x0, 3 4 x0+3) , -x0= 3 4 x0+2, 此时, x0=- 8 7 , 点 C 与点 D 的“ 非常距离 ” 的最小值为: 8 7 , 此时 C(- 8 7 , 15 7 ) ; E(- 3 5 , 4 5 ) - 3 5 -x0= 3 4 x0+3- 4 5 , 6 解得, x0=- 8 5 , 则点 C 的坐标为( - 8 5 , 9 5 ) , 最小值为1
14、 点评: 本题考查了一次函数综合题对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件本 题中的 “ 非常距离 ” 的概念是正确解题的关键 对应训练 4 (2012?台州) 请你规定一种适合任意非零实数a,b 的新运算 “ab” ,使得下列算式成立: 12=21=3, (-3)( -4)=(-4)( -3)=- 7 6 , (-3) 5=5( -3)=- 4 15 , 你规定的新运算ab= (用 a,b 的一个代数式表示) 考点五:阅读材料题型中的新概念 例 5 (2012?常州)平面上有两条直线AB 、CD 相交于点O,且 BOD=150 (如图),现 按如下要求规定此平面上点的“ 距离坐标 ” :
15、 (1)点 O 的“ 距离坐标 ” 为( 0,0) ; (2)在直线CD 上,且到直线AB 的距离为p( p0)的点的 “ 距离坐标 ” 为( p,0) ;在直 线 AB 上,且到直线CD 的距离为q(q0)的点的 “ 距离坐标 ” 为( 0,q) ; (3)到直线AB、 CD 的距离分别为p,q(p0,q0)的点的 “ 距离坐标 ” 为( p,q) 设 M 为此平面上的点,其“ 距离坐标 ” 为(m,n) ,根据上述对点的“ 距离坐标 ” 的规定,解决 下列问题: (1)画出图形(保留画图痕迹): 满足 m=1,且 n=0 的点 M 的集合; 满足 m=n 的点 M 的集合; (2)若点 M
16、 在过点 O 且与直线CD 垂直的直线l 上,求 m 与 n 所满足的关系式 (说明: 图中 OI 长为一个单位长) 思路分析:( 1)以O 为圆心,以2 为半径作圆,交CD 于两点,则此两点为所求;分 别作 BOC 和 BOD 的角平分线并且反向延长,即可求出答案; (2)过 M 作 MN AB 于 N,根据已知得出OM=n ,MN=m ,求出 NOM=60 ,根据锐角 三角函数得出sin60 = MN OM = m n ,求出即可 解: (1)如图所示: 7 点 M1和 M2为所求; 如图所示: 直线 MN 和直线 EF(O 除外)为所求; (2)如图: 过 M 作 MN AB 于 N, M 的“ 距离坐标 ” 为( m,n) , OM=n , MN=m , BOD=150 ,直线 lCD, MON=150 -90 =60 , 在 RtMON 中, sin60 = MN OM = m n , 即 m 与 n 所满足的关系式是:m= 3 2