人教版高中数学选修2-2归纳与类比教学讲义

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1、第1页 共 15 页 励学国际学科学生讲义 年级 ：上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ：宋冰洁 课题归纳与类比 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 归纳与类比 【要点梳理】 要点一：合情推理 数学推理 是由一个或几个已知的判断(或前提 )，推导出一个未知结论的思维过程数学推理一般包括合情推 理和演绎推理本章节主要讲解合情推理 1.概念 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理 等），推测出某些结果的推理方式 2.特征 合情推理是一种合乎情理的似真推理，它的前提为真，结论可

2、能为真 3.常用方法 人们根据合情推理的特征、作用、范例和模式以及经验的积累，总结出数学中常用的合情推理方法有：观察、 实验、联想、猜测、直观、归纳、类比、推广、限定、抽象等其中归纳推理和类比推理和合情推理的两种主 要形式 4.推理过程： 要点诠释： （ 1）由合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确， 但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用 （ 2）注意合情推理和演绎推理的区别演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个 第2页 共 15 页 特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理演绎推理的特征是前提

3、为真，结论必为真 要点二：归纳推理 1.概念 根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳） 2.特征 （ 1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 （ 2）归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的想象，因而结论具有猜测的性质 （ 3）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的 （4）由归纳推理的结论虽然未必可靠，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却 是十分有用的 3.一般步骤 4.

4、一般模式 已知 1 S ， 2 S ， 3 S ， n S 是A类事物的对象， 1 S 具有特征P， 2 S 具有特征P， n S 具有特征P， 所以A类事物具有特征P 5.有关归纳的两个概念 完全归纳推理：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论 的推理， 又叫完全归纳法由于完全归纳推理考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的 结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用 不完全归纳推理：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结 论的推理，又叫完全归纳法由于不完全归纳

5、推理是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论 之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻 辑论证和实践检验 要点诠释： 观察特例发现相似性推广为明确表述的一般命题（猜想）检 验 第3页 共 15 页 归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、 实验、 分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一 般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠由于归纳推理的前提是部分的、个 别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的， 所以归纳推理所得的结论不一定是正

6、确的 要点三：类比推理 1.概念 两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上， 根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似 的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理 2. 特征 （ 1）类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出 新的结果； （ 2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； （ 3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能 3.一般步骤 （ 1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性 （ 2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） （ 3）检验猜想 4.一般模式 已知

7、性质 abc，与性质abc，相似或相同 A类事物具有性质abcd， ， ，； B类事物具有性质abc， 所以B类事物也具有性质d 要点诠释： （ 1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越 可靠 （ 2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质 上相同或类似， 那么它们在另一些性质上也可能相同或类似因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然 性 （ 3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假 【典型例题】 第4页 共 15 页 类型一：归纳推理的概念 例 1 下列推理是归纳推理吗？为什么？ （

8、 1）金受热后体积膨胀，（2）当 n =0 时， 2 nn +11=11； 银受热后体积膨胀，当 n =1 时， 2 nn +11=11； 铜受热后体积膨胀，当 n =2 时， 2 nn +11=13； 铁受热后体积膨胀，当 n =3 时， 2 nn +11=17； 锌受热后体积膨胀，当 n =4 时， 2 nn +11=23； 金、银、铜、铁、锌都是金属，11，11，13，17， 23 都是质数， 所以，所有的金属受热后都体积膨胀所以，对于所有的自然数 n ， 2 nn +11 的值都是质数 【思路点拨】根据归纳推理的概念判断，观察是否是从特殊到一般的推理，是否符合归纳推理的一般模式 【变式

9、】下列推理是归纳推理的是（） AA，B 为定点，动点P 满足 |PA|PB|2a|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B由 a11，an 3n1，求出 S1，S2， S3，猜想出数列的前n 项和 Sn的表达式 C由圆 x2y 2 r 2 的面积 r2，猜想出椭圆的面积 D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 类型二：归纳推理的应用 例 2 用推理的形式表示数列 33333 1 ,2 ,3 ,4 ,n的前 n项和 n S 的归纳过程 【总结升华】 第5页 共 15 页 本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归 纳推理 归纳常常从观察开始，观察、实验、对有

10、限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基 本方法之一 归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明在归纳猜想数列的前n 项和公式时， 要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对 于数学的发现却是十分有用的 举一反三： 【变式 1】在数列 an中， a10，an1 2an2，猜想 an是( ) A2n-2 1 2 B2 n-2 C2n-11 D2 n-14 【变式 2】用推理的形式表示等差数列1，3，5，（ 2n 1）， 的前 n项和 n S 的归纳

11、过程 【变式3】各项均为正数的数列an ， a1=a， a2=b，且对满足 m+n=p+q 的正整数m， n， p， q 都有 (1)(1)(1)(1) pq mn mnpq aa aa aaaa 当 1 2 a， 4 5 b时，求通项公式an 例 3平面内的1 条直线把平面分成2 部分， 2 条相交直线把平面分成4 部分， 3 条相交但不共点的直线把 第6页 共 15 页 平面分成7 部分， n 条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？ 【思路点拨】可通过画当直线条数n 为 3，4，5 时，分别计算出它们将平面分成的区域数 n S ，从中发现规 律，再归纳出结论 举一反三： 【变式

12、 1】根据给出的数塔猜测1234569+7 等于 1 9+2=11 12 9+3=111 123 9+4=1111 1234 9+5=11111 【变式 2】根据图中5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有个点( ) A 2 1n B 2 nn C n+1 D 2 1nn 【变式 3】将正 ABC 分割成 n2（n2 ，nN）个全等的小正三角形（如图2-1-1-1，图 2-1-1-2 分别给出了n=2， 第7页 共 15 页 3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的 个数不少于3 时）都分别成等差数列，若顶点A，B，

13、C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和 为 f（n），则有 f（2） =2，f（3）=_， ，f（n）=_ 类型三：类比推理的概念 例 4 下面几种推理是类比推理的是（） A 由圆的性质可知球的有关性质 B 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180 ，推出所有三角形的内角和都是180 C 教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 D 三角形内角和是180 ， 四边形内角和是360 ， 五边形内角和是540 ， 由此得出凸多边形的内角和是(n-2) 180 【思路点拨】根据类比推理的概念及特征解析 【变式 1】类比平面内正三角形的“ 三边相等，三内角相等” 的性

14、质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比 较恰当的是 ( ) 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ABCD 【变式 2】由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “ mnnm”类比得到“ a bb a”； 第8页 共 15 页 “ (mn)tmtnt”类比得到“( ab) ca cb c”； “ (m n)tm(n t)”类比得到“( a b) ca (b c)”； “ t0 ，mtxt? mx”类比得到“p 0，a px p ? ax”； “ m nm n

15、gg”类比得到“ggm nmn ”； “= aca bcb ”类比得到“= g g a ca b cb ” 以上式子中，类比得到的结论正确的是（） A1 B2 C3 D4 类型四：类比推理的应用 例 5 在ABC中，若 0 90C，则 22 coscos1AB，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的 猜想 【思路点拨】 解决此类问题的关键是如何用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些 不同，有哪些变化， 本题中“三角形从同一顶点出发的两条边垂直”类比“三棱锥从同一顶点出发的三个平面互 相垂直”，“三角形两个直角边与底边所成的角”类比“三棱锥中三个互相垂直的面与第四

16、个平面所成的 角”再利用立体几何的知识加以证明 （ 1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角 等等； （ 2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 举一反三： 【变式】在ABC 中，若 BCAC，AC=b，BC=a，则 ABC 的外接圆半径 22 2 ab r将此结论拓展到 空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC 中，若 SA、SB、SC两两垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，则四面 第9页 共 15 页 体 SABC 的外接球半径R=_ 例 6 已知等差数列 n a的公差为 d，前 n项和nS 有如下性质： 若m npq，则 (, ,*) mnpq aaaam n p qN 若2(, ,*)mnp m n pN，则2 mnp aaa 类比上述性质，在等比数列 n b中，写出相类似的性质 举一反三： 【变式 1】已知等差数列的定义为: 在一个数列中，从第二项起，如