《人教版高中数学必修二教学案-直线、平面平行的判定》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修二教学案-直线、平面平行的判定（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1页 共 13 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年级 ：上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ：数学学 科 教 师 ： 课题 直线、平面平行的判定复习 课型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教学内容 直线、平面平行的判定复习 【要点梳理】 知识点一、直线和平面平行的判定 文字语言 ：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行. 简记为：线线平行，则线面平行. 图形语言 ： 符号语言 ：a、b，/ab/a. 要点诠释： （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： 直线 a在平面外，即a； 直线 b 在
2、平面内，即 b ； 直线 a，b 平行，即ab 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立 （2）定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说， 要证明一条直线和一个平面平行，只要 在平面内找一条直线与已知直线平行即可 知识点二、两平面平行的判定 文字语言 ：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言 ： 第2页 共 13 页 符号语言 ：若a、b，abAI，且/a、/b，则/. 要点诠释： （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的 （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行
3、面面平行 知识点三、判定平面与平面平行的常用方法 1利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法 2利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另 一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行 3平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行 【典型例题】 类型一、直线与平面平行的判定 例 1已知 AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E， F，G 分别是 AB ，BC，CD 的中点，求证： AC/ 平面 EFG， BD/平面 EFG
4、【解析】 欲证明 AC平面 EFG， 根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC 平行 于平面 EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明AC EF 证明：如右图，连接AC ，BD， EF，GF，EG 在 ABC 中， E， F分别是 AB，BC 的中点， ACEF， 又 AC平面 EFG，EF平面 EFG， 于是 AC 平面 EFG 同理可证BD 平面 EFG 【总结升华】 由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（ 1）在平面内寻找直线的平行线；（2） 证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论 例 2已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和 ABEF 不在同一个平面内，P
5、、Q 分别为对角线AE、 BD 上的点，且AP=DQ ，如右图求证：PQ平面 CBE 证明： 作 PMAB 交 BE 于点 M，QNAB 交 BC 于点 N，则 PMQN PMEP ABEA ， QNBQ DCBD AP=DQ ， EP=BQ 又 AB=CD ，EA=BD ， PM/QN 四边形PMNQ 是平行四边形 PQMN 第3页 共 13 页 综上， PQ平面 CBE， MN平面 CBE ， 又 PQMN ， PQ平面 CBE 【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键 举一反三： 【变式 1】 如右图所示， 在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA
6、平面 ABCD ， AP=AB ， BP=BC=2 ， E，F 分别是 PB，PC 的中点 （ 1）证明： EF平面 PAD； （ 2）求三棱锥EABC 的体积 V 【解析】（ 1）在 PBC 中， E，F 分别是 PB，PC 的中点， EFBC 又 BCAD ， EFAD 又 AD平面 PAD ，EF平面 PAD， EF平面 PAD （ 2）连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG PA交 AB 于点 G，如下图， 则 EG平面 ABCD ，且 1 2 EGPA 在 PAB 中， AP=AB ， PAB=90， BP=2， 2APAB， 2 2 EG 11 222 22 ABC SAB BC
7、， 1121 2 3323 EABCABC VSEG 【变式 2】 已知 P是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E、F分别为 AB 、PD 的中点，求证：AF平面 PEC. 【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面 上的直线平行. 【证明】设PC的中点为G，连接 EG 、FG F 为 PD中点， GF CD且 GF=1 2 CD AB CD ，AB=CD ，E为 AB中点， GF AE，GF=AE ，四边形AEGF为平行四边形 EG AF， 又 AF平面 PEC ，EG平面 PEC ， AF 平面 PEC 【总结升华】要证明直线和平面平行
8、，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了注意适当添加 辅助线，重视中位线在解题中的应用 第4页 共 13 页 【变式3】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，90ACB o ，EAABCD平面， /,/,/,2EFAB FGBC EGAC ABEF 若M是线段AD的中点，求证：/GM平面ABFE。 【证明】因为/,/,/,90EFAB FGBC EGACACB o， 所以90 ,EGFABC o EFG， 由于2ABEF， 因此，2BCFG， 连接AF，由于/FGBC， 1 2 FGBC 在ABCDY中，M是线段AD的中点， 则/AMBC，且 1 2 AMBC， 因此/F
9、GAM且FGAM， 所以四边形AFGM为平行四边形， 因此/GMFA 又FA平面ABFE，GM平面ABFE， 所以/GM平面ABFE 例 3如果平面外的一条直线a 和平面内任何一条直线都没有公共点，则这条直线和平面平行 【证明】假设a不平行于，a， a 与相交 设 a=A ，过 A 在内作直线 b，则b， a b=A这与已知矛盾，a 【总结升华】判定（或证明）直线与平面平行的常用方法： （ 1）定义法：证明直线与平面没有公共点，若直接证明有点困难，则借助反证法来完成证明 （ 2）判定定理法：在平面内找到一条直线与它平行，这是最常用的方法 （ 3）面面法：利用面面平行的性质（以后学习）来完成证明
10、 举一反三： 【变式 1】如右图所示，四面体ABCD 中， E，F，G 分别是棱BC，CD， DA 的中点，则在四面体的棱中，与平面EFG 平行的有几条？分别是哪几条？ 【解析】 因为 E， F 分别是 BC， CD 的中点， 所以 EF BD， 又 BD平面 EFG， EF平面 EFG，所以 BD 平面 EFG；同理， AC 平面 EFG； 取 AB 的中点 H，连接 EH，HG，则 HEAC FG，HGBD EF，所以四边形EFGH 为平行四边形，所 以 E，F，G，H 四点共面，所以AH平面 EFG=H，AB 与平面 EFG 不平行； 另外易知， AD ，CD，BC 与平面 EFG 不平
11、行 第5页 共 13 页 所以，四面体的6 条棱中，与平面EFG 平行的棱有2 条，即 BD ，AC 类型二、平面与平面平行的判定 例 4已知正方体ABC D A1B1C1D1，求证：平面 AB1D1平面 BDC1 【解析】 要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平 行的直线 【证明】如图，AB/A1B1，C1D1/A1B1， AB/C1D1， 四边形ABC1D1为平行四边形， AD1BC1 又 AD 1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1， BC1平面 AB1D1 同理， BD 平面 AB1D1， 又 BD BC1=B，平面 AB1D1平面
12、BDC1 【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出） 两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论 例 5如右图，正方体ABCD A1B1C1D1中， M、 N、 E、F 分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点 求证：平面AMN 平面 EFDB 【证明】连接MF， M、F 分别是 A1B1、C1D1的中点，且四边形 A1B1C1D1为正方形， MF/A1D1 又 A1D1/AD ， MF/AD ， 四边形AMFD 是平行四边形，AM DF DF平面 EFDB，AM平面 EFDB， AM 平
13、面 EFDB 同理， AN 平面 EFDB 又 AM 、AN平面 AMN ，且 AM AN=A ， 平面 AMN 平面 EFDB 【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和 直线的平行 举一反三： 【变式 1】 点 P 是 ABC 所在平面外一点， 123 ,G GG分别是 PBC， APC， ABP 的重心，求证：面 123/ / G G G 面 ABC. 第6页 共 13 页 证明：连 32 ,PGPG，并延长分别交AB，AC 于 M，Q，连 MQ. 因为 32 ,GG为重心，所以M，Q 分别为所在边的中点. 又直线 PMPQ=P，所以直
14、线PM，PQ 确定平面PMQ, 在 PMQ 中，因为 32 ,GG为重心，所以 32 32 2 1 PGPG G MG Q ，所以 23/ / G GMQ. 因为 23 G G面 ABC，MQ面 ABC， 23/ / G GMQ，所以 23/ / G G面 ABC 同理 13 / /G G面 ABC， 因为 13 G G面 123 G G G， 23 G G面 123 G G G， 13233 G GG GGI， 23/ / G G面 ABC， 13/ / G G面 ABC， 所以面 123/ / G G G面 ABC. 【变式 2】如右图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，点 D，E 分别
15、是 BC 与 B1C1的中点 求证：平面A1EB平面 ADC1 【证明】由棱柱的性质知，B1C1/BC，又 D，E 分别为BC，B1C1的中点，所以 C1E/DB ，则四边形C1DBE 为平行四边形，因此EBC1D， 又 C1D 平面 ADC1，EB平面 ADC1，所以 EB平面 ADC1 连接 DE，同理， EB1/BD ，所以四边形 EDBB1为平行四边形，则ED/B1B 因为 B1B/A1A（棱柱的性质），所以 ED/A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD ， 又 A1E 平面 ADC1，AD平面 ADC1，所以 A1E平面 ADC1 由 A1E平面 ADC1， EB平面
16、 ADC1， A1E 平面 A1EB， EB平面 A1EB，且 A1E EB=E， 所以平面A1EB 平面 ADC1 类型三、平行平面间距离的求法 例 6如右图所示，已知正三棱柱A1B1C1ABC ，E、E1分别是 AC 、A1C1 的中点 （ 1）求证：平面AB1E1平面 BEC1； （ 2）当该棱柱各棱长都为a 时，求（ 1）中两个平行平面间的距离 【解析】两平行平面间的距离可转化为线面距离，最终可转化为点面距离 （ 1）由于 AE/E1C1，因此四边形 AE1C1E 是平行四边形，则AE1EC1，则 AE1平面 BEC1同理， B1E1 平面 BEC1由两平面平行的判定定理得，平面 AB1E1平面 BEC1 第7页 共 13 页 （ 2）设平行平面AB1E1与平面 BEC1间的距离等于d，则点A 到平面BEC1的距离等于d，由等积法得 111 1 11 33 BECA BECCABEABE SdVVSC C，即 1 1 ABE BEC S dC
