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1、极限与导数复习一数学归纳法及应用举例：1重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想（3）归纳猜想证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等 2典型例题：例1用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)证明：当n=1时，左边，右边=-1(1
2、+1)(4+3)=-14，等式成立假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3) 那么n=k+1时，+(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)4k2+3k+2(6k+7)=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)(k+1)+14(k+1)+3，等式也成立由知，当nN时等式成立，原命题成立例2试证Sn=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除证明：n=1时，S1=49，能9整除假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3
3、+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3)由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立综上所述：命题成立点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除例3通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分证明：设适合条件的n个平面把空间分成pn个部分，pn=n2-n+2 当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立假设当n=k时，命题成立，即满足命题条件的k个平面把
4、空间分成pk=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，即如果再有一个平面a适合条件，那么，在平面上必有k条交线，平面被分成2k个部分，pk+1=pk+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2当n=k+1时，pn=n2-n+2成立综上可知对任何nN，命题成立点评：几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等例4若不等式对一切正自然数n都成立，求自然数a的最大值，并证明你的结论证明：n=1时，即，所以a1时,方程f(x)= 0,在e-m ,e2-m 内有两个实根讲解（1）函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且当x(-m,1-m)时,，f(x
5、)为减函数,f(x)f(1-m)；当x(1-m, +)时, ，f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x(-m, +)都有f(x)f(1-m)=1-m，故当整数m1时，f(x) 1-m0(2)由（I）知，当整数m1时，f(1-m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的，故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根点评本题是年广东高考第题，试题当中的定理是高等数学中的基本知识，这种给出新的情景，由此来考查学习的潜能，需要读者在复习数学多多重视例（
6、1）求证；（2） 求证 讲解想办法构造函数，妙用导数知识来证明不等式（1）令， 由 知， 于是，原不等式等价于 一方面，令 ， 则有，当 ，有 从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得 另一面，令 ，则有 ，当时，有，从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有 ，即得 综上可知 （2）联系不等式（）和（），就会发现，令 时，不等式也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得，即 点评应当说，本题的解答中构造的函数与年高考全国压卷题中显示的函数f(x)=ln(1+x)x没有什么区别有着高等数学背景的、如同年江苏卷的压轴题相近的不等式证明题似乎是高考命题的又一新的开挖点例 过点作曲线（，）的切线切
7、点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：（注：）讲解：（）为了求切线的斜率，只要对求导数，得若切点是，则切线方程是当时，切线过点，即，得；当时，切线过点，即，得所以数列是首项为，公比为的等比数列，（）应用二项式定理，得（）记，则，两式错位相减，得，故 点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向，而数列的不等式证明又是常考不衰的话题三训练题：（一）选择题：1 用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN)时，从“k到k+1 ”时，左边需要相乘的代数式是( )（A）（B）（C）2(2k+1)（D）2k+12下列命题错误的是（ ）（A） 函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续（B） 函数在点处连续，则（C） 初等函数在其定义区间上是连续的（D） 对于函数有3已知，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D） 4函数的导数是（ ）（A） （B） （C） （D） 5 等于ABC0D6函数是单调增函数，则下列式中成立的是（ ）（A） （B）
