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1、2020届河北衡水中学高三年级期中考试 理科数学试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 . 满分 150分.考试时间 120分钟. 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题 ( 本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1已知集合S=1，2 ， T=x|x 2 4x3，则 ST=（ ） A1 B 2 C1 D2 2已知复数z1，z2满足 |z1|=|z 2|=1 ，|z1z2|=，则 |z1+z2| 等于（） A2 B C1 D3 3设正数x，y 满足 x+y=1，若不等式对任意的x，y 成
2、立，则正实数a 的取值范 围是（） Aa4 B a1 Ca1 Da4 4如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， O是底面 ABCD的中心， E为 CC1的中点，那么异面直 线 OE与 AD1所成角的余弦值等于（） A BCD 5给出计算的值的一个程序框图如图， 其中判断框内应填入的条件是（） Ai 10 Bi 10 C i 20 Di 20 6如图，在RtABC中， AC=1 ，BC=x ，D是斜边 AB的中点，将 BCD沿直线 CD翻折，若在 翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ，则 x 的取值范围是 （） A （ 0， B （，2 C （，2 D （2，4 7数列 an中，对任意
3、nN *，a 1+a2+an=2 n1，则 a 1 2+a 2 2+a n 2 等于（） A （ 2 n 1）2 B C4 n1 D 8已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何 体的体积为（） A2 B C D 9设函数f （x）=Asin （x +） （A， 是常数， A0， 0） ，且函数f （x）的部分图象如图所示，则有（） Af （） f （） f （）Bf （） f （） f （） Cf （） f （） f （）Df （） f （） f （） 10若圆 C：x 2+y2+2x4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（ a，b）向圆 C所作切线 长的最小值是
4、（） A2 B3 C4 D6 11若函数f （x）=x 33x 在（ a，6 a2）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（） A （， 1）B （， 1 C （， 2） D （， 2 12已知 f （ x）为函数f （x）的导函数，且f （x） =x 2f （0）x+f （ 1）ex1，若 g （ x） =f（x） x 2+x， 则方程 g （ x） x=0 有且仅有一个根时，a 的取值范围是 （） A （， 0） 1 B （， 1 C （0，1 D1 ，+） 第卷非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 ） 13设变量x，y 满足约束条件，则 z=x
5、3y 的最小值 14设数列 an的 n 项和为 Sn，且 a1=a2=1，nSn+（ n+2）an 为等差数列，则an 的通项公式 an= 15已知函数f （x）的定义域为 2，+） ，部分对应值如下表 f （x）为 f （ x）的导 函数，函数y=f （ x）的图象如下图所示若两正数a，b 满足 f （2a+b） 1，则的 取值范围是 X 2 0 4 f （x）1 1 1 16. 已知正三棱锥S ABC内接于半径为6 的球， 过侧棱 SA及球心 O的平面截三棱锥及球面 所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
6、） 17 （本小题满分12 分） ABC中，已知，记角 A，B，C 的对边依次为a，b，c （1）求 C的大小； （2）若 c=2，且 ABC是锐角三角形，求a 2+b2 的取值范围 18. （本小题满分12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n（n+1） （nN *） （）求数列 an的通项公式； （）若数列 bn满足：，求数列 bn的通项公式； （）令（n N *） ，求数列 c n的前 n 项和 Tn 19. （本小题满分12 分）已知圆 C：x 2+y2+2x4y+3=0 （1）若圆 C的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程； （2） 从圆 C外一点 P
7、 （x1， y1） 向该圆引一条切线，切点为 M ， O为坐标原点， 且有 |PM|=|PO| ， 求使得 |PM|取得最小值的点P的坐标 20. （本小题满分12 分） 如图，ABCD 是边长为3 的正方形，DE 平面 ABCD ， AFDE ， DE=3AF ， BE与平面 ABCD 所成角为60 （）求证： AC 平面 BDE ； （）求二面角FBE D的余弦值； （）设点M是线段 BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM 平面 BEF ，并证明你的 结论 21. （本小题满分12 分）已知函数f （x）=alnx+x 2（a 为实常数） （1）若 a=2，求证：函数f （x）在（ 1
8、，+）上是增函数； （2）求函数f （ x）在 1 ，e 上的最小值及相应的x 值； （3）若存在x 1 ，e ，使得 f （ x）（ a+2）x 成立，求实数a 的取值范围 请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题记分. 解答时请写清 题号 . 22. （本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的方程是x 2+y24x=0，圆心为 C，在以坐标原点为极点，以x 轴的 非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：= 4sin 与圆 C相交于 A ，B两点 （1）求直线AB的极坐标方程； （2）若过点C （ 2，0）的直线 C2：（t
9、是参数）交直线AB于点 D，交 y 轴于点 E，求 |CD| ： |CE| 的值 23. （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲 已知函数f （x） =m |x 3| ，不等式 f （x） 2 的解集为（ 2，4） （1）求实数m的值； （2）若关于x 的不等式 |x a| f （x）恒成立，求实数a 的取值范围 理科数学参考答案 一选择题 1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A 二填空题 13 8 14.16. 三解答题 17解：（1）依题意：，即， 又 0A+B ， .4分 （2）由三角形是锐角三角形可得， 即由正弦定理得 ， ， = = = =
10、， ， ，即 .12分 18. 解： （）当n=1 时， a1=S1=2， 当 n2 时， an=SnSn1=n（n+1）（ n1）n=2n， 知 a1=2满足该式，数列an的通项公式为an=2n （2 分） （）（n 1） （ 4 分） 得：， bn+1=2（3 n+1+1） ，故 b n=2（3 n+1） （nN* ） （6 分） （）=n（3 n+1）=n?3n+n， Tn=c1+c2+c3+cn=（13+23 2+333+n3n）+（1+2+ +n） （8 分） 令 Hn=13+23 2+333+n3n， 则 3Hn=13 2+233+334+ +n3n+1 得： 2Hn=3+3 2+
11、33+3nn3n+1 = ，（ 10 分） 数列 cn 的前 n 项和（ 12 分） 19. 解： （1）切线在两坐标轴上的截距相等，当截距不为零时，设切线方程为x+y=a， 又圆 C： （x+1） 2+（y2）2=2，圆心 C（ 1， 2）到切线的距离等于圆的半径， 即，解得： a=1 或 a=3， 当截距为零时，设y=kx，同理可得或， 则所求切线的方程为x+y+1=0 或 x+y3=0 或或- -6 分 （2）切线PM与半径 CM垂直， |PM| 2=|PC|2|CM|2 （ x1+1） 2+（y 12） 22=x 1 2+y 1 2 2x 14y1+3=0 动点 P的轨迹是直线2x4y
12、+3=0 |PM| 的最小值就是 |PO| 的最小值 而|PO| 的最小值为原点O到直线 2x4y+3=0 的距离， 由，可得故所求点P的坐标为-12分 20. 证明：（）因为DE 平面 ABCD ，所以 DE AC 因为 ABCD 是正方形，所以AC BD ， 从而 AC 平面 BDE .（4 分） 解： （）因为DA ，DC ， DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz 如图所示 因为 BE与平面 ABCD 所成角为60 0，即 DBE=60 ，所以 由 AD=3 ，可知， 则 A（3，0，0） ，B（ 3，3，0） ，C（0，3， 0） ， 所以， 设平面 BEF的法向量为=（x，
13、y，z） ，则，即 令，则= 因为 AC 平面 BDE ，所以为平面 BDE的法向量， 所以 cos 因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为（ 8 分） （）点M是线段 BD上一个动点，设M （t ，t ，0） 则 因为 AM 平面 BEF ，所以=0，即 4（t 3）+2t=0 ，解得 t=2 此时，点M坐标为（ 2，2，0） ，即当时， AM 平面 BEF （ 12 分） 21. 解： （1）当 a=2 时，f（x）=x 22lnx ，当 x（ 1，+） ， ， 所以函数f （x）在（ 1， +）上是增函数；.2分 （2），当 x1 ，e ，2x 2+aa+2 ，a+2e2 若 a
14、 2，f （ x）在 1 ，e 上非负（仅当a=2，x=1 时， f （x）=0） ，故函数f （x）在 1 ， e 上是增函数，此时f （x）min=f （1）=1 若 2e 2a 2，当 时， f （x）=0； 当时， f （x） 0，此时 f （x）是减函数； 当时， f （x） 0，此时 f （x）是增函数 故f （x）min= 若 a 2e 2，f （ x）在 1 ，e 上非正（仅当 a=2e 2，x=e 时， f （x）=0） ， 故函数 f （x）在 1 ，e 上是减函数，此时f （ x）min=f （e）=a+e 2 综上可知，当a 2 时， f （x）的最小值为1，相应的 x
15、 值为 1； 当 2e 2a 2 时， f （x）的最小值为 ，相应的x 值为； 当 a 2e 2 时， f（x）的最小值为a+e 2，相应的 x 值为 e.7分 （3）不等式f （ x）（ a+2）x，可化为a（xlnx ） x 22x x1 ，e ， lnx 1 x 且等号不能同时取，所以lnx x，即 xlnx 0， 因而（x1 ，e ） 令（x1 ，e ） ，又， 当 x1 ，e 时， x1 0，lnx 1，x+22lnx 0， 从而 g （x） 0（仅当 x=1 时取等号），所以 g（x）在 1 ，e 上为增函数， 故 g（x）的最小值为g（1）=1，所以 a 的取值范围是 1，+） .12分 22. 解： （1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 极坐标与直角坐标有如下关系x=cos，y=sin ， 曲线 C1：=sin ， 2=4 sin ， x 2+y2=4 y， 曲线 C1：x 2+y2+ y=0，直线AB的普通方程为： （x 2+y24x）（ x2+y2+4 y）=0， y=x， sin =cos， tan =， 直线 AB极坐标方程为：)( 6 1 R.5分 （2）根据（ 1）知，直线AB的直角坐标方程为y=x， 根据题意可以令D（x1，y1） ，则 ，又
