《高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、. 可编辑 专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1 【陕西省榆林市第二中学2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为, 离心率为;圆过椭圆的三个顶点 .过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于两点 . ()求椭圆的标准方程; ()证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】 试题分析: ()设圆过椭圆的上、 下、右三个顶点, 可求得, 再根据椭圆的离心率求得, 可得椭圆的方程; ()设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。 解得。 椭圆的标准方程
2、为. ()证明: 由题意设直线的方程为, 由消去y整理得, 设, . 可编辑 要使其为定值,需满足, 解得. 故定点的坐标为. 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1) 假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个 关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2) 从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意 2 【四川省成都市第七中学2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物 线 2 :2Cypx(0,pp为常数)交于不同的两点,M N,当 1 2 k时,弦MN的长为 4 15. (1)
3、求抛物线C的标准方程; (2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点1, 1B,判断直线NQ是否过定点?若过 定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1) 2 4yx; (2)直线NQ过定点1, 4 【解析】试题分析: (1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由( 1)可设 222 1122 ,2,2,2MttN ttQ tt,则 1 2 MN k tt , 则 11 : 220MNxttytt; 同理: 22 :220MQxttytt 121 2 :220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上 1 1 t t (1) ; 由1, 1在直线MQ上 22 220tt
4、tt将( 1)代入 1 212 21t ttt(2) 将( 2)代入NQ方程 1212 2420 xttytt,即可得出直线NQ过定点 . 可编辑 (2)设 222 1122 ,2,2,2MttN ttQ tt,则 1 22 11 222 = MN tt k tttt , 则 2 1 2 :2MNytxt tt 即 11 220 xttytt; 同理: 22:220MQxttytt ; 121 2 :220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上 1 1tt,即 1 1 t t (1) ; 由1, 1在直线MQ上 22220tttt 将( 1)代入 1 212 21t ttt(2) 将( 2
5、)代入NQ方程 1212 2420 xttytt,易得直线NQ过定点1, 4 3 【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线 2 :0C ymx m过点 1, 2,P是C上一点,斜率为1的直线l交C于不同两点,A B(l不过P点) ,且PAB的重心的纵坐 标为 2 3 . (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标; (2)记直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k,求 12 kk的值 . 【答案】(1)方程为 2 4yx; 其焦点坐标为1,0(2) 12 0kk 【解析】试题分析;(1)将1, 2代入 2 ymx,得4m,可得抛物线C的方程及其焦点坐标; (2)
6、设直线l的方程为yxb,将它代入 2 4yx得 22 220 xbxb(),利用韦达定理,结合斜 率公式以及PAB的重心的纵坐标 2 3 ,化简可 12 kk的值; . 可编辑 因为PAB的重心的纵坐标为 2 3 , 所以 12 2 p yyy,所以2 p y,所以1 p x, 所以 1221 12 12 1212 2121 22 1111 yxyx yy kk xxxx , 又 1221 2121yxyx 1221 2121xbxxbx 1212 2122x xbxxb 2 2212220bbbb. 所以 12 0kk. 4已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴端点到右
7、焦点1 0F,的距离为2 ()求椭圆C的方程; ()过点F的直线交椭圆C于A B,两点,交直线4l x:于点P,若 1 PAAF, 2 PBBF,求证: 12为定值 【答案】 (1) 22 1 43 xy ;(2) 详见解析 . 【解析】试题分析: ()利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;()联立直线和椭圆的方程,得到关 于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. ()由题意直线 AB过点1,0F ,且斜率存在,设方程为1yk x, 将4x代人得P点坐标为4,3k, 由 22 1 1 43 yk x xy ,消元得 2222 3484120kxk xk, 设 11
8、 ,A xy, 22 ,B xy,则0且 2 12 2 2 122 8 34 412 34 k xx k k xx k , 方法一:因为 1 PAAF,所以 1 1 1 4 1 PAx AFx . 同理 2 2 2 4 1 PB x BFx ,且 1 1 4 1 x x 与 2 2 4 1 x x 异号, 所以 12 12 1212 4433 2 1111 xx xxxx . 可编辑 12 1212 32 2 1 xx x xxx 22 222 3 868 2 412834 kk kkk 0. 所以, 12为定值0. 当 12 1xx时,同理可得 12 0. 所以, 12为定值0. . 可编辑
9、 同理 2 2 2 3 PB my BFmy ,且 1 1 3my my 与 2 2 3my my 异号, 所以 12 12 12 1212 333 2 yymymy mymymy y 36 20 9 m m . 又当直线AB与x轴重合时, 12 0, 所以, 12为定值 0. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于 x或y的一 元二次方程, 利用根与系数的关系进行求解,因为直线 AB过点1,0F ,在设方程时, 往往设为1xmy 0m,可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线C: 2
10、 4yx,F为C的焦点, 过F的直线l与C相交于,A B两点 . (1)设l的斜率为1,求AB; (2)求证:OA OB uu u v u uu v 是一个定值 . 【答案】 (1) 8AB(2)见解析 【解析】试题分析: (1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长 公式即可得出; (2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出; . 可编辑 (2)证明:设直线l的方程为1xky, 由 2 1 4 xky yx 得 2 440yky 12 4yyk, 12 4y y 1122 ,OAx yOBxy uu u vu uu v ,
11、12121212 11OA OBx xy ykxkyy y uuu v uu u v , 2 121212 22 1 44143 k y yk yyy y kk , OA OB uuu v uu u v 是一个定值 . 点睛:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公 式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力, 直线方程设成1xky也给解题带来了方便. 6 【内蒙古包头市第三十三中2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的 离心率为 6 3 , 右焦点为 (2,0).(1)求椭圆C的方程 ;
12、 (2) 若过原点作两条互相垂直的射线, 与椭圆 交于A,B两点 , 求证 : 点O到直线AB的距离为定值 . 【答案】 (1) 2 2 1 3 x y ,(2) O到直线AB的距离为定值 3 2 . 【解析】试题分析: (1)根据焦点和离心率列方程解出a,b,c; (2)对于AB有无斜率进行讨论,设出A,B坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式计算; . 可编辑 有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k 2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入 , 得 4 m 2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 2 3 2 1 m d k ,
13、 当AB的斜率不存在时, 11 xy , 可得 , 1 3 2 xd依然成立 . 所以点O 到直线的距离为定值 3 2 . 点睛:本题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想,对于这类题目要掌握解题方 法设而不求,套用公式解决 7 【四川省成都市石室中学2017-2018 学年高二10 月月考】已知双曲线 22 22 10 xy ba ab 渐近线方 程为3yx,O为坐标原点,点 3,3M在双曲线上 ()求双曲线的方程; ()已知,P Q为双曲线上不同两点,点O在以PQ为直径的圆上,求 22 11 OPOQ 的值 【答案】() 22 1 26 xy ; () 22 111 3
14、OPOQ . 【解析】试题分析: (1)根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点M的坐标求得参数即可; (2) 由 条 件 可 得OPOQ, 可 设 出 直 线,OP OQ的 方 程 , 代 入 双 曲 线 方 程 求 得 点,P Q的 坐 标 可 求得 22 111 3 OPOQ 。 . 可编辑 ()由题意知OPOQ。 设OP直线方程为ykx, 由 22 1 26 xy ykx ,解得 2 2 2 2 2 6 3 6 3 x k k y k , 2 2 222 222 6 1 66 | 333 k k OPxy kkk 。 由OQ直线方程为 1 yx k . 以 1 k 代替上式中的k
15、,可得 2 2 2 2 2 1 6 1 61 | 31 1 3 kk OQ k k 。 2 22 22222 21 113311 += 3 6 16 16 1 k kk kkkOPOQ 。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 22 22 1(0) xy ab ab 经过点P(2,1) ,且离心率为 3 2 ()求椭圆的标准方程; ()设O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M,N满足OMNO u uu u vuu u v ,直线PM、PN分别交椭圆于A,B探 求直线AB是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由 【答
16、案】(1) 22 1 82 xy ; (2)直线AB过定点Q(0, 2). 【解析】试题分析: ( 1)根据椭圆的几何性质得到椭圆方程;(2)先由特殊情况得到结果,再考虑一般情 况,联立直线和椭圆得到二次函数,根据韦达定理,和向量坐标化的方法,得到结果。 . 可编辑 x1+x2= 2 8 41 kt k ,x1x2= 2 2 48 41 t k , 又直线PA的方程为y1= 1 1 1 2 y x (x2) ,即y1= 1 1 1 2 kxt x (x2) , 因此M点坐标为( 0, 1 1 122 2 k xt x ) ,同理可知:N(0, 2 2 122 2 k xt x ) , 当且仅当t= 2 时,对任意的k都成立,直线AB过定点Q(0, 2). 9 【广西桂林市第十八中学2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左,右 焦点分别为 12 ,FF. 过原点O的直线l与椭圆交于,MN两点,点P是椭圆C上的点