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1、. 可编辑 专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1 【陕西省榆林市第二中学2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为， 离心率为；圆过椭圆的三个顶点 .过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于两点 . （）求椭圆的标准方程； （）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】 试题分析： （）设圆过椭圆的上、 下、右三个顶点， 可求得， 再根据椭圆的离心率求得， 可得椭圆的方程； （）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得 ，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 椭圆的标准方程
2、为. （）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设， . 可编辑 要使其为定值，需满足， 解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1) 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个 关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2) 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 2 【四川省成都市第七中学2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物 线 2 :2Cypx（0,pp为常数）交于不同的两点,M N，当 1 2 k时，弦MN的长为 4 15. （1）
3、求抛物线C的标准方程； （2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点1, 1B，判断直线NQ是否过定点？若过 定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） 2 4yx; （2）直线NQ过定点1, 4 【解析】试题分析： （1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（ 1）可设 222 1122 ,2,2,2MttN ttQ tt，则 1 2 MN k tt ， 则 11 : 220MNxttytt； 同理： 22 :220MQxttytt 121 2 :220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上 1 1 t t （1） ； 由1, 1在直线MQ上 22 220tt
4、tt将（ 1）代入 1 212 21t ttt（2） 将（ 2）代入NQ方程 1212 2420 xttytt，即可得出直线NQ过定点 . 可编辑 （2）设 222 1122 ,2,2,2MttN ttQ tt，则 1 22 11 222 = MN tt k tttt ， 则 2 1 2 :2MNytxt tt 即 11 220 xttytt； 同理： 22:220MQxttytt ； 121 2 :220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上 1 1tt，即 1 1 t t （1） ； 由1, 1在直线MQ上 22220tttt 将（ 1）代入 1 212 21t ttt（2） 将（ 2
5、）代入NQ方程 1212 2420 xttytt，易得直线NQ过定点1, 4 3 【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线 2 :0C ymx m过点 1, 2，P是C上一点，斜率为1的直线l交C于不同两点,A B（l不过P点） ，且PAB的重心的纵坐 标为 2 3 . （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标； （2）记直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k，求 12 kk的值 . 【答案】（1）方程为 2 4yx; 其焦点坐标为1,0（2） 12 0kk 【解析】试题分析;（1）将1, 2代入 2 ymx，得4m，可得抛物线C的方程及其焦点坐标； （2）
6、设直线l的方程为yxb，将它代入 2 4yx得 22 220 xbxb（），利用韦达定理，结合斜 率公式以及PAB的重心的纵坐标 2 3 ，化简可 12 kk的值； . 可编辑 因为PAB的重心的纵坐标为 2 3 ， 所以 12 2 p yyy，所以2 p y，所以1 p x， 所以 1221 12 12 1212 2121 22 1111 yxyx yy kk xxxx ， 又 1221 2121yxyx 1221 2121xbxxbx 1212 2122x xbxxb 2 2212220bbbb. 所以 12 0kk. 4已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴端点到右
7、焦点1 0F，的距离为2 （）求椭圆C的方程； （）过点F的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x：于点P，若 1 PAAF， 2 PBBF，求证： 12为定值 【答案】 (1) 22 1 43 xy ;(2) 详见解析 . 【解析】试题分析： （）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关 于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. （）由题意直线 AB过点1,0F ，且斜率存在，设方程为1yk x, 将4x代人得P点坐标为4,3k， 由 22 1 1 43 yk x xy ，消元得 2222 3484120kxk xk， 设 11
8、 ,A xy， 22 ,B xy，则0且 2 12 2 2 122 8 34 412 34 k xx k k xx k ， 方法一：因为 1 PAAF，所以 1 1 1 4 1 PAx AFx . 同理 2 2 2 4 1 PB x BFx ，且 1 1 4 1 x x 与 2 2 4 1 x x 异号， 所以 12 12 1212 4433 2 1111 xx xxxx . 可编辑 12 1212 32 2 1 xx x xxx 22 222 3 868 2 412834 kk kkk 0. 所以， 12为定值0. 当 12 1xx时，同理可得 12 0. 所以， 12为定值0. . 可编辑
9、 同理 2 2 2 3 PB my BFmy ，且 1 1 3my my 与 2 2 3my my 异号， 所以 12 12 12 1212 333 2 yymymy mymymy y 36 20 9 m m . 又当直线AB与x轴重合时， 12 0， 所以， 12为定值 0. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或y的一 元二次方程， 利用根与系数的关系进行求解，因为直线 AB过点1,0F ，在设方程时， 往往设为1xmy 0m，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线C： 2
10、 4yx，F为C的焦点， 过F的直线l与C相交于,A B两点 . （1）设l的斜率为1，求AB； （2）求证：OA OB uu u v u uu v 是一个定值 . 【答案】 (1) 8AB（2）见解析 【解析】试题分析： （1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长 公式即可得出； （2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出； . 可编辑 （2）证明：设直线l的方程为1xky， 由 2 1 4 xky yx 得 2 440yky 12 4yyk， 12 4y y 1122 ,OAx yOBxy uu u vu uu v ，
11、12121212 11OA OBx xy ykxkyy y uuu v uu u v ， 2 121212 22 1 44143 k y yk yyy y kk ， OA OB uuu v uu u v 是一个定值 . 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公 式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力, 直线方程设成1xky也给解题带来了方便. 6 【内蒙古包头市第三十三中2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的 离心率为 6 3 , 右焦点为 (2,0).(1)求椭圆C的方程 ;
12、 (2) 若过原点作两条互相垂直的射线, 与椭圆 交于A,B两点 , 求证 : 点O到直线AB的距离为定值 . 【答案】 (1) 2 2 1 3 x y ,(2) O到直线AB的距离为定值 3 2 . 【解析】试题分析： （1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c； （2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算； . 可编辑 有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k 2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入 , 得 4 m 2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 2 3 2 1 m d k ，
13、 当AB的斜率不存在时, 11 xy , 可得 , 1 3 2 xd依然成立 . 所以点O 到直线的距离为定值 3 2 . 点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方 法设而不求，套用公式解决 7 【四川省成都市石室中学2017-2018 学年高二10 月月考】已知双曲线 22 22 10 xy ba ab 渐近线方 程为3yx，O为坐标原点，点 3,3M在双曲线上 （）求双曲线的方程； （）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求 22 11 OPOQ 的值 【答案】（） 22 1 26 xy ； （） 22 111 3
14、OPOQ . 【解析】试题分析： （1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可； （2） 由 条 件 可 得OPOQ， 可 设 出 直 线,OP OQ的 方 程 ， 代 入 双 曲 线 方 程 求 得 点,P Q的 坐 标 可 求得 22 111 3 OPOQ 。 . 可编辑 （）由题意知OPOQ。 设OP直线方程为ykx， 由 22 1 26 xy ykx ，解得 2 2 2 2 2 6 3 6 3 x k k y k ， 2 2 222 222 6 1 66 | 333 k k OPxy kkk 。 由OQ直线方程为 1 yx k . 以 1 k 代替上式中的k
15、，可得 2 2 2 2 2 1 6 1 61 | 31 1 3 kk OQ k k 。 2 22 22222 21 113311 += 3 6 16 16 1 k kk kkkOPOQ 。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 22 22 1(0) xy ab ab 经过点P(2,1) ，且离心率为 3 2 （）求椭圆的标准方程； （）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OMNO u uu u vuu u v ，直线PM、PN分别交椭圆于A，B探 求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由 【答
16、案】（1） 22 1 82 xy ； （2）直线AB过定点Q（0， 2）. 【解析】试题分析： （ 1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情 况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。 . 可编辑 x1+x2= 2 8 41 kt k ，x1x2= 2 2 48 41 t k ， 又直线PA的方程为y1= 1 1 1 2 y x （x2） ，即y1= 1 1 1 2 kxt x （x2） ， 因此M点坐标为（ 0， 1 1 122 2 k xt x ） ，同理可知：N（0， 2 2 122 2 k xt x ） ， 当且仅当t= 2 时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0， 2）. 9 【广西桂林市第十八中学2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左，右 焦点分别为 12 ,FF. 过原点O的直线l与椭圆交于,MN两点，点P是椭圆C上的点
