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1、系统数学模型的时域表示,时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,本章我们主要讨论输入、输出描述法。,输入输出描述： 一元N阶微分方程,状态变量描述： N元一阶微分方程,系统分析过程,经典法：前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t) 有关的问题有待进一步解决 h(t)；,卷积积分法：任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),列写方程：根据元件约束，网络拓扑约束,解方程：,经典法,双零法,零输入： 可利用经典法求,零状态： 利用卷积积分法求解,变换域法：主要是拉普拉斯变换,2.2 微分方程的 建立,
2、微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KVL。,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,例：求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,解：,微分方程的列写,微分方程的列写,用 p 表示微分算子，即有,1/p 表示积分算子，即有,算子法列写电路的微
3、分方程,由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：,用消元法求得。,例：列写 与 的微分方程。,解：,微分方程的列写,即得,写成微分方程形式为,微分方程的列写,微分方程的一般形式,或者,一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述。,2.3 微分方程经典求解法,2.4 起始点的跳变,2.5 零输入响应和零状态响应,也称 固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,没有外加激励信号的作用
4、，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。,自由响应：,暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,2.7 卷积,卷积在工程和数学上的应用：,统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理
5、）都存在卷积。,1定义与物理意义 历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔 卷积与反卷积互逆,i)卷积,ii)反卷积1：系统辨识,iii)反卷积2：信号检测,卷积定义,定义：,设有两个 函数 , 积分,称为 的卷积积分，简称卷积，记为,卷积定义,利用卷积求系统的零状态响应,这就是系统的零状态响应。,若把它作用于冲激响应为h(t)的LTIS，则响应为, 物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的,冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：,任意信号 可表示为冲激序列之和,卷积的计算,可直接利用函数的解析表达式代入卷积积分定义式计算。,用图解法直观，用图形分段求出定积分限尤为方便准
6、确,积分变量改为,时延,3. 相乘,4. 乘积的积分,2.,1.,卷积图解过程,下限 上限,t-3,t-0,t ：移动的距离,-1,1, 未移动,当 从 到 变化时， 对应的 从左向右移动。,卷积图解过程,t -1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,卷积图解过程,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t。,卷积图解过程,1 t 2,即 1 t 2,卷积图解过程,2 t 4,即 2 t 4,卷积图解过程,即：,t 4,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,卷积结果,动画,卷积图解过程,一般规律：,卷积结果所占的时宽两卷积函数所占的时宽之和,() 积分
7、限由 的范围决定。,积分上下限和卷积结果区间的确定,一、积分上下限确定,二、卷积结果区间的确定,A,B,C,D,A+C,B+D,例：,求：,卷积图解过程,解：,图解法,卷积图解过程,iv) 相乘；v) 求积分,当 时,当 时,当 时,当 时,当 时,卷积图解过程,卷积图解过程,由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。,上述的例子通过图解确定卷积积分的积分限。也可借助于阶跃函数 u( t )确定积分限。,常见函数的卷积,常见函数的卷积：（P57 表2-3）,利用常见函数的卷积公式与卷积的性质相结合，可以方便地求较复杂信号的卷积运算。
8、,2.8 卷积的性质,一代数性质,1交换律,2分配律,3结合律,系统并联运算,系统级联运算,系统并联,系统并联，框图表示：,结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于,各子系统冲激响应之和。,返回,系统级联,系统级联，框图表示：,结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。,二时移性质,设,则,三微分积分性质,g(t)的一重积分,积分性质,微分性质：,推广：,设,推广：,三微分积分性质,微分性质积分性质联合使用,对于卷积很方便，特别是下面这个公式。,微分 n 次， 积分 m 次,m=n, 微分次数积分次数,四.与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,例 利用微积分性质求卷积,对其中一个函数求导，得到冲激函数，另一个函数积分，卷积结果不变。,例2-17,例 利用微积分性质求卷积,例2-18,例2-19,(1),(2),(3),（1）,（2）,
