《应用本文方法求解几类常见的偏微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用本文方法求解几类常见的偏微分方程（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、分类号 密级 UDC 编号 中国科学院研究生院硕士学位论文李群方法在求解几类偏微分方程中的应用 何 再 明 指导教师 游亚戈 研究员硕士中国科学院广州能源研究所 申请学位级别 硕士 学科专业名称 流体机械及工程 论文提交日期 2007.6 论文答辩日期 2007.6 培养单位 中国科学院广州能源研究所 学位授予单位 中国科学院研究生院 答辩委员会主席 Graduate School of Chinese Academy of SciencesThe application of Lie group to the solution of several classical partial dif
2、ferential equationsHe Zaiming (Fluid Machinery and Engineering)Directed by Prof. You YageM.S.ThesisGuangzhou Institute of Energy Conversion, Chinese Academy of Sciences June, 2007摘 要传统能源供应日益紧张，开发可再生能源已成为当务之急。海洋能是众多可再生能源的一种，波浪能利用是现今各国海洋能开发研究的重点，水动力学数值计算和非线性偏微分方程求解则是研究波浪能利用的工具。在众多求解偏微分方程方法中，李群给我们提供了一种
3、如何构造函数和自变量的变换方法，实现原微分方程的约化降维，求解此降维方程便获得原方程的解，它使人们在运用变换求解偏微分方程时变得有章可循。本文的主要工作是，通过对求解偏微分方程的数值方法现状大致介绍和分析其自身局限性和缺陷，以李群理论的基础为始详细介绍了几类李群对称方法，之后以Mathematica这一科学计算软件为平台，通过对热传导方程的经典和非经典对称方法的推导，演示其推导方法和结果。通过对其特征方程的常数赋予特值，获得其群不变量，再带回原方程实现降维约化，并求解该降维方程，从而获得热传导方程的解，然后对Burgers方程，Boussinesq方程，KdV方程不同方法求解来获得其更丰富的解
4、。本文的研究意义在于应用李群方法求解偏微分方程的精确解，同时利用科学计算软件进行符号计算推导，扩展了李群方法应用的适用性，为水动力学方程的求解提供了参考，同时对几类偏微分方程的求解也增加了其解的丰富性，且为波浪能的基础研究提供了理论铺垫，并对进一步的工程实际应用具有一定的参考价值。关键词：李群 无穷小生成元 偏微分方程 科学计算软件ABSTRACTHe Zaiming(Fluid Machinery and Engineering)Directed by You YageToday, energy plays a very important role in the development a
5、nd civilization of the social. On the other hand, studying and developing the clear energy is the only way we should to do. Ocean energy is one kind of new and renewable energy, and is being studied in many countries. The research of the nonlinear partial differential equations (PDEs) is the basis o
6、f the conversion of wave energy. In the methods of solving the PDEs, Lies theory is applicable to construct the transformation between the dependent and independent variables, and the symmetry group allows us to reduce the order of the equation, and gives us a rule that we can gain the transformatio
7、n. In this thesis, we introduce the methods of solving the PDEs numerically, and point out the disadvantage and the limitation firstly. In chapter 2, beginning with the basic knowledge of groups, we introduce the classical symmetries, non-classical symmetries, generalized symmetries, approximate sym
8、metries and direct methods. In chapter 3, the heat equations are calculated firstly by classical and non-classical symmetries, through the constant of characteristic equation given special values, we gained the determining equations and infinitesimal invariance, so we can get the solutions by replac
9、e the original equation and calculate the reduce equation . And then the Burgers equations, Boussinesq equations, KdV equations are considered to access their rich solutions.The significance of this thesis is that the scientific analysis software is employed in the symbolic computation at the same t
10、ime the Lie group symmetry is applied in the solution to the PDEs, which improves the applicability of the Lie group theory and increases the abundance solutions of several classical PDEs. The works provide some useful idea in the solution to the PDEs in hydrodynamics, accumulate some theory foundat
11、ion for the basis research of wave energy, and give some useful help for the practical design in the ocean emerging.Key words: Lie Group, infinitesimal generator, partial differential equations (PDEs), scientific analysis software.目 录目 录第1章 绪 论11.1 引言11.2 非线性偏微分方程求解常用的几种数值方法21.2.1 有限差分法21.2.2 有限元法31
12、.2.3 边界元法31.2.4 有限体积法41.3 数值方法求解存在的困难41.4 李群简介61.5 李群在偏微分方程中的应用61.6 计算机代数系统71.7 本论文的安排8第2章 李群理论基础及李对称群法介绍132.1 引言132.2 李群理论基础142.2.1 群及子群142.2.2 变换群、单参数李群变换和无穷小变换142.2.3 延拓、微分方程不变性、微分方程对称群152.3 经典李群方法162.4 非经典李群方法172.5 势对称方法182.6 广义对称方法222.7 近似对称法232.7.1 单参数近似群232.7.2 近似对称242.8 讨 论25第3章 应用本文方法求解几类常见
13、的偏微分方程293.1 引言293.2 无穷小生成元的求解及热传导方程的求解293.2.1 经典方法求解热传导方程303.2.2 非经典方法求解热传导方程353.3 应用李群方法求解Boussinesq 方程373.3.1 Boussinesq方程的经典李群方法求解383.3.2 Boussinesq方程的非经典李群方法求解393.4 应用李群方法求解KdV方程413.4.1 经典李群方法求解KdV423.4.2 非经典方法求解一般形式的KdV方程443.5 应用李群方法求解Burgers 方程463.5.1 经典李群方法求解Burgers方程473.6 讨论49第4章 总结与展望534.1
14、本文主要结论534.2 下一步研究工作展望54致 谢55攻读硕士期间发表论文情况56作者简介57后 记5857第1章 绪 论第1章 绪 论1.1 引言随着常规能源的日渐耗竭，能源危机和环境污染问题日益凸现。针对此问题，各国都纷纷开展和高度重视替代能源和可再生能源的研究和开发，其研究范围已扩展到太阳能、风能、生物能、海洋能（波浪能，海流能，潮汐能，温差能，盐差能）、地热能、天然气水合物和核能等众多方面。我国地域辽阔，具有丰富的替代能源和可再生能源，加大替代能源和可再生能源资源的开发力度，将逐步改善我国以煤和石油为主的能源供应与消费结构，保障我国的能源安全，促进常规能源资源更加合理和有效的利用，实
15、现能源、经济与环境的协调和可持续发展1。同时随着陆地资源的枯竭，人们将目光逐渐转向蕴藏着丰富资源的海洋。海洋能就是一种可以利用海洋资源，海洋能是指依附在海水中的可再生能源，海洋通过各种物理过程或化学过程接收、储存和散发能量，这些能量以波浪、海流、潮汐、温差、盐差等形式存在于海洋之中。鉴于能量转换效率及环境影响，波浪能和海流能更具有开发潜力2。波浪能作为一种清洁的可再生能源，长期以来，世界各国投入了大量的人力和财力对其进行研究。在二十世纪七十年代以前，波浪能利用研究的活动主要是波能转换装置的发明，八十年代以后，研究进入了以实用化、商品化为目标的应用示范阶段，较早提出的某些影响很大的装置，如鸭式3、筏式4装置研究进展缓慢，而振荡水柱(OWC)式波能系统成为主攻方向。从1984年以来建成的大部分装置都是振荡水柱式波
