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1、（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第三十一章 与圆有关的位置关系A31.1 直线与圆的位置关系 （2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是o的切线，A、B为切点，AC是o 的直径，若P=46，则BAC=_.【解析】因为PA、PB是o的切线，所以PA=PB，OAPA，又因P=46，所以PAB=67，所以BAC=OAP-PAB=90-67=23，【答案】23【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.（2012连云港，14，3分）如图，圆周角BAC=55，分别过B、C两点作O的切线，
2、两切线相交于点P，则BPC= 。【解析】连结OB，OC，则OBPB，OCPC。则BOC=110，在四边形PBOC中，根据四边形的内角和为360，可得BPC=70。【答案】70【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。（2012湖南湘潭，14，3分）如图，的一边是O的直径，请你添加一个条件，使是O的切线,你所添加的条件为 .第14题图【解析】根据切线的定义来判断，BCAB，或ABC=900。【答案】BCAB，或ABC=900。【点评】此题考查切线的定义。圆的切线垂直于过切点的半径。（2012浙江丽水8分，20题）如图，AB为O的直径，EF切O于点D，过点B作BHEF于点H，交O于点C
3、，连接BD.（1）求证：BD平分ABH；（2）如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.【解析：】（1）欲证BD平分ABH，只需证OBD=DBH.连接OD，则OBD=ODB，为止只需证ODB=DBH即可.（2）过点O作OGBC于点G，在RtOBG中，利用勾股定理即可求得OG的值.【解】：（1）证明：连接OD.EF是O的切线，ODEF.又BHEF，ODBH，ODB=DBH.而OD=OB，ODB=OBD，OBD=DBH，BD平分ABH.（2）过点O作OGBC于点G，则BG=CG=4，在RtOBG中，OG=.【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.（
4、2012福州，20，满分12分）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交O于点E。（1）求证：AC平分DAB；（2）若B=60，CD=，求AE的长。解析：（1）由CD是O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OCCD，ADOC，因此易证AC平分DAB；（2）由B=60，可联想到30的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由B=60，可得1=3=30，因为CD=，因此可得AC=，从而可求得AB的长，连接OE，易知OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE。答案：（1）证明：如图1，连接OC，CD为O的切线OCCDOCD=
5、90ADCDADC=90OCD+ADC=180ADOC1=2OA=OC2=31=3即AC平分DAB。（2）解法一：如图2AB为O的直径ACB=90又B=601=3=30在RtACD中，CD=AC=2CD=在RtABC中，AC=连接OEEAO=23=60，OA=OEEAO是等边三角形AE=OA=4.解法二：如图3，连接CEAB为O的直径ACB=90又B=601=3=30在RtACD中，CD=四边形ABCE是O的内接四边形B+AEC=180又AEC+DEC=180DEC=B=60在RtCDE中，CD=AE=AD-DE=4.点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性
6、质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。（2012贵州铜仁，23，12分）如图，已知O的直径AB与弦CD相交于点E， ABCD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F （1）求证：CD BF； （2）若O的半径为5， cosBCD=，求线段AD的长23题图 【分析】（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BFAB，然后利用平行线的判定得出CDBF（2）由AB是圆O的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出BAD=BCD，再根据三角函数cosBAD= cosBCD=即可求出AD的长【解析】（1）证明：BF是圆O
7、的切线，AB是圆O的直径 BFAB CDAB CDBF （2）解：AB是圆O的直径 ADB=90 圆O的半径5 AB=10 BAD=BCDcosBAD= cosBCD=8 AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考
8、命题的热点. (2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，B=90，ADBC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.（1）求证：以AB为直径的O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长. 解析:（1）过AB的中点O作OECD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明COD=900，运用勾股定理求值.答案:证明： 过AB的中点O作OECD于E. S梯形ABCD=(AD+BC) AB=(AD+BC) OA=2(ADOA+BCOB)=2(SOAD +SOBC)由S梯形ABCD =SOBC+ SOAD+ SOCDSOBC+ SOAD=SOCDADOA+BCOA
9、=CDOE(AD+BC) OA=CDOE又AD+BC=CD OA=OE,E点在以AB为直径的O上，又OECDCD是O的切线即：CD与O相切 5分 （2）DA、DE均为O的切线，DA=DE，则1=2，同理3=4. COD=900.CD= 5分点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.（2012四川成都，27，10分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K （1）求证：KE=GE； （2）若=KDGE，试判断
10、AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG，EG是O的切线OGGEOGK+EGK90CDABOAG+AKH90OG=OAOGK=OAGEGK=AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下：=KDGE，GE=KEKGDKGEKGDE
11、KGDCECACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAFF，ECsinE=sinC=,sinF=,tanE=tanC=连接BG，过G作GNAB于N，交O于Q则弧BQ=弧BGBGNBAG设AH=3k，则CH=4k于是BH=，OG=EG是切线，CDABOGF90FOG+F=E+FFOG=ENG=OGsinFOG=BN=OB-ON=OG-OGcosFOG=BG=cosBAG=cosBGN=FG=QN点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。（2012江苏泰州市，27，本题满分12分）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=
12、5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围. （第27题图） （备用图）【解析】（1）由于AB是O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB,AC两底角相等；（2）设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB（3）先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可【答案】（1）AB=AC; 连接OB，则OBAB，所以CB
13、A+OBP=900,又OP=OB，所以OBP=OPB，又OPB=CPA，又OAl于点A，所以PCA+CPA=900，故PCA=CBA，所以AB=AC（2）设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP2=(2)2-（5-r）2，从而建立等量关系，r=3，AB=AC，AB2= AC2，利用相似，求出PB=4 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出OD=；由题意，圆O要与直线MN有交点，所以；又因为圆O与直线l相离；所以r5;综上，.【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，
