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1、 西南交通大学本科毕业论文 第IV页摘 要常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程特解时简便易用。列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方法在某些方面的优劣。常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法。本文从求解一类特殊形式的一阶常微分方程入手,证明了变量分离方程、Bernoulli方程、部分齐次方程以及其它形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法用于更加广泛的地发去。 阅读理解首次积分求得的六个定理以及推论，将六个类型的方程与常数变易法相结合，并对定理运用常数变易法进行证明，求解。应用变量变换方法，解
2、几类可化为分离变量的二阶非线性微分方程，扩大了变量变换方法的使用范围，提供微分方程的可积类型，给出几个通积分的表达式。二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文利用常数变易法对二阶非线性微分方程进行讨论后, 给出了求其通解表达式的具体方法。关键词：常微分方程; 常数变易法; 非线性；二阶非线性；可积类型；通解分。 西南交通大学本科毕业论文 第VI页AbstractConstant variation method is a special method of solving diferential equationIt is simpler to use constant variati
3、on method to get some special solutionsSeveral constant variation methods different from those in textbooks are listed here to find out their advantages and disadvantages in some aspectsThe method of constant variation is an effective way to solve the first order non - homogeneous linear ordinary di
4、fferential equation. This paper studies the first order ordinary differential equation in a special form, and proves that the equation of variable divided, Bernoulli equation, some non - homogeneous equations and the first order non linear ordinary differential equation in another form can all be so
5、lved with this method, and then popularizes the method of constant variation. Reading the six obtained by the first integral theorem and corollary, With six types of equations and constant variation, I use the constant variation to prove, to solve theorems. Solutions to some kinds of second-order di
6、fferenfial equations by using variabletransformation method are given and the scope of applications is expandedMeanwhile, the integral types of differential equations are provided and the expressions of reduction of integrals to a common denominator are also given The Second-order Linear Homogeneous
7、 Equation is widely used in practical problems. The paper discusses the second-order non-linear homogeneous differential equation“”by the constant-variation method, and presents some specific methods on the expression of the general solution.Key words：ordinary differential equation; the method of co
8、nstant variation; non linear; secondorder nonlinear differential equation;variable transformation integral type reduction of integrals to a common denominator 西南交通大学本科毕业论文 第页目 录第1章 绪论11.1 引言11.2 本文的主要研究内容4第2章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例52.1 一阶非线性常微分方程的常数变易法52.1.1 基本类型52.1.2 基本类型52.1.3 基本类型62.1.4 基本类型62.1.5
9、基本类型6 2.1.6 基本类型I72.2 举例72.2.1 基本方法72.2.2 基本方法82.2.3 基本方法82.2.4 基本方法IV92.2.5 基本方法V92.2.6 基本方法VI.10 2.2.7 基本方法VII10 2.2.8 基本方法VIII10第3章 二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例123.1 二阶非线性常微分方程的常数变易法123.1.1 二阶非线性常微分方程组的一般形式与解法123.1.2 具有几个定理性质的可用常数变易法的方程.133.2 举例13结 论22致 谢23参考文献24 西南交通大学本科毕业论文 第页部分符号对照表属于对任意的存在()大于（小于）大于或等
10、于（小于或等于）蕴涵或推出等价或充分必要集合的并（集合的交）积分号求和符号 维实数空间求极限dy/dx y对x求导 西南交通大学本科毕业论文 第24页第1章 绪论1.1 引言常数变易法是常微分方程中解决线性微分方程的主要手段，在教材中都没有详细的说明，在这里我给出常数变易法是如何一步一步推导出来的。我们先来看下面的式子： (1)对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”。所以我们的思路就是如何将（1）式的x和y分离开来。起初的一些尝试和启示先直接分离： (2)从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设.将代入(1)式: (3)这时u又不能单独除到
11、左边来，所以还是不行。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那将该项变为零是比较好的方法。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就自然而然的消失了整个都消失了，那也就不需要分什么了。比如说，对于（3）式，如果x1/M(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果M(x)0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和M(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事具备了吗？进一步：变量代换法我们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果是很简单的。就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。
12、这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。有人可能会觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是把问题复杂化了，不然,其实u和v都非常有用，看到下面就知道了。将代换代入（1）式会出现： (4)如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是v的用处就有了。令，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。 (5)现在v解出来了，接下来该处理u了，实际上当v解出来后u就十分好处理了。把（5）式代入（4）式，则这一项便被消掉了。剩下的是而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来： (6)现在u和v都已求出，那么yuv也迎刃而解： (这里) (7)这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法就叫“变量代换法”，即用uv代换了y。
