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1、实用文档 . 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第 I 卷 一选择题 （1）设集合2|,0| 2 xxNxxxM，则 （A）NM（B）MNM （C）MNM（D）NMR （2）已知函数 x ey的图像与函数)(xfy的图像关于直线xy对称，则 （A）xexf x ()2( 2 R）（B）2ln)2( xfxln（0 x） （C）xexf x (2)2(R）（D）xxfln)2(2ln（0 x） （3）双曲线1 22 ymx的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m= （A） 4 1 （B） 4 （C）4 （D） 4 1 （4）如果复数)1)( 2 miim是实数，则实数m= （A） 1 （B） 1
2、（C）2（D）2 （5）函数) 4 tan()(xxf的单调增区间为 （A）kkk), 2 , 2 (Z（B）kkk),) 1( ,(Z （C）kkk), 4 , 4 3 (Z （D）kkk), 4 3 , 4 (Z （6） ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为a、 b、 c. 若 a、 b、 c 成等比数列， 且Baccos,2则 （A） 4 1 （B） 4 3 （C） 4 2 （D） 3 2 （7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A） 16（B）20（C）24（D）32 （8）抛物线 2 xy上的点到直线0834yx距离的最小值是 （A） 3
3、 4 （B） 5 7 （C） 5 8 （D）3 实用文档 . （9）设平面向量a1、a2、a3的和 a1+a2+a3=0. 如果平面向量 b1、b2、b3满足 iii aab且|,|2|顺时针旋转30后与 bi同向，其中i=1，2， 3，则 （A）0 321 bbb（B）0 321 bbb （C）0 321 bbb（D）0 321 bbb （10）设 n a是公差为正数的等差数列，若 321321 ,15aaaaaa=80，则 131211 aaa= （A） 120 （B）105 （C）90 （D）75 （11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许
4、连接， 但 不允许折断） ，能够得到的三角形的最大面积为 （A）58cm2（B）106cm2 （C）553cm2（D）20cm2 （12）设集合5 ,4 ,3,2, 1I，选择 I 的两个非空子集A 和 B，要使 B中最小的数大于A 中 最大的数，则不同的选择方法共有 （A） 50 种（B）49 种（C）48 种（D）47 种 第卷 二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分. 把答案填在横线上. （13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等 于. （14）设xyz2，式中变量x、y 满足下列条件 , 1 ,2323 , 12 y yx yx
5、则 z 的最大值为. 实用文档 . （15）安排 7 位工作人员在5 月 1 日至 5 月 7 日值班， 每人值班一天， 其中甲、 乙二人都不 安排在 5 月 1 日和 2 日. 不同的安排方法共有种.（用数字作答） （ 16 ） 设 函 数).0)(3cos()(xxf若)()(xfxf是 奇 函 数 ， 则 = . 三解答题：本大题共6 小题，共74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分12 分） ABC的三个内角为A、B、C，求当 A 为何值时 , 2 cos2cos CB A取得最大值 ,并 求出这个最大值. （18） （本小题满分12） A、 B 是
6、治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4 只 小白鼠组成，其中2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B有效的多， 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A 有效 的概率为 3 2 ，服用 B有效的概率为 2 1 . （）求一个试验组为甲类组的概率； （）观察3 个试验组，用表示这 3 个试验组中甲类组的个数. 求的分布列和数 学期望 . （19） （本小题满分12 分） 如图， 1 l、 2 l是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点 A、B 在 1 l上， C在 2 l上， AM = MB =
7、 MN. （）证明NBAC； （）若 60ACB，求 NB 与平面 ABC所成角的余弦值. （20） （本小题满分12 分） 在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0( 1 F和)3,0( 2 F为焦点、 离心率为 2 3 的椭 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点 P在 C上， C在点 P处的切线与x、y 轴的交点 分别为 A、B，且向量OBOAOM. 求： 实用文档 . （）点M 的轨迹方程； （） |OM| 的最小值 . （21） （本小题满分14 分） 已知函数 . 1 1 )( ax e x x xf （）设0a，讨论)(xfy的单调性； （）若对任意)1 ,0(x恒有1)(
8、xf，求 a 的取值范围 . （22） （本小题满分12 分） 设数列 na 的前 n 项的和 , 3,2, 1, 3 2 2 3 1 3 4 1 naS n nn （）求首项 1 a与通项 n a； （）设 ,3 ,2 , 1, 2 n S T n n n 证明： n i iT 12 3 . 2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修 +选修）参考答案 一选择题 （1）B （2）D （ 3）A （4）B （5）C （6）B （7）C （8）A （ 9）D （10）B （11） B （12）B 二填空题 （13） 3 （14）11 （15）2400 （16） 6 三解答题 （1
9、7）解：由 , 222 , ACB CBA得 所以有. 2 sin 2 cos ACB 2 sin2cos 2 cos2cos A A CB A 2 sin2 2 sin21 2 AA . 2 3 ) 2 1 2 (sin2 2A 当 . 2 3 2 cos2cos, 3 , 2 1 2 sin取得最大值时即 CB AA A （18 分）解： （）设A1表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有i 只” ，i= 0，1，2， B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i 只” ， i= 0，1，2， 实用文档 . 依题意有 . 9 4 3 2 3 2 )(, 9 4 3 2 3 1
10、 2)( 21 APAP . 2 1 2 1 2 1 2)(. 4 1 2 1 2 1 )( 10 BPBP 所求的概率为 P = P （B0A1）+ P（B0A2）+ P（B1A2） = 9 4 2 1 9 4 4 1 9 4 4 1 . 9 4 （）的可能值为0，1，2，3 且 B（3， 9 4 ） , 729 125 ) 9 5 ()0( 3 P , 243 100 ) 9 5 ( 9 4 )1( 21 3 CP , 243 80 9 5 ) 9 4 ()2( 22 3 CP . 729 64 ) 9 4 () 3( 3 P 的分布列为 0 1 2 3 p 729 125 243 100
11、 243 80 729 64 数学期望. 3 4 9 4 3E （19）解法： （）由已知l2 MN，l2l1，MNl1 = M， 可得 l2平面 ABN. 由已知 MNl1，AM = MB = MN， 可知 AN = NB 且 AN NB 又 AN 为 AC在平面 ABN 内的射影， ACNB （）Rt CAN = Rt CNB， AC = BC，又已知ACB = 60， 因此ABC为正三角形。 Rt ANB = Rt CNB。 NC = NA = NB，因此 N 在平面 ABC内的射影H 是正三角形ABC的中心， 连结 BH， NBH为 NB 与平面 ABC所成的角。 在 Rt NHB 中
12、，. 3 6 cos 2 2 3 3 AB AB NB HB NBH 实用文档 . 解法二： 如图，建立空间直角坐标系Mxyz， 令 MN = 1， 则有 A（-1，0，0） ，B（1，0，0） ， N（ 0，1，0） 。 （） MN 是 l1、l2的公垂线， l2l1， l2 平面 ABN， l2平行于 z 轴， 故可设 C（0，1， m） 于是),0 , 1, 1(), 1 , 1(NBmAC , 00) 1(1NBAC ACNB. （）. |)., 1 , 1(), 1 , 1 (BCACmBCmAC 又已知 ABC = 60 ， ABC为正三角形， AC = BC = AB = 2.
13、在 Rt CNB中， NB =2，可得 NC =2，故 C).2,1 ,0( 连结 MC，作 NHMC 于 H，设 H（0，2） （ 0） . ).2, 1 ,0(),2,1 , 0(MCHN . 3 1 , 021MCHN ). 3 2 , 3 1 , 1(,), 3 2 , 3 2 ,0(), 3 2 , 3 1 ,0(BHBHHNH则连结可得 , 0 9 2 9 2 0HBHMCBHHNBHHN又 HN 平面 ABC ， NBH为 NB与平面 ABC所成的角 . 又).0 , 1 , 1(BN . 3 6 2 | cos 3 2 3 4 BNBH BNBH NBH （20）解： （）椭圆
14、的方程可写为1 2 2 2 2 b x a y ， 式中 2 33 3 ,0 22 a ba ba且 得1, 4 22 ba，所以曲线C 的方程为 实用文档 . )0,0(1 4 2 2 yx y x 2 2 1 2 ),10(12 x x y xxy 设),( 00 yxP，因 P在 C上，有 0 02 000 4 |,12, 10 0 y x yxyx xx ，得切线 AB 的方程为.)( 4 00 0 0 yxx y x y 设 A（x，0）和 B（0，y） ，由切线方程得 . 4 , 1 00 y y x x 由OBOAOM的 M 的坐标为（ x，y） ，由 00, y x满足 C 的
15、方程， 得点 M 的轨迹方 程为 ).2, 1(1 41 22 yx yx （） 222 |yxOM 1 4 4 1 1 4 2 2 2 x x y 9545 1 4 1| 2 22 x xOM 且当13, 1 4 1 2 2 x x x即时，上式取等号， 故OM的最小值为3。 （21）解： （）)(xf的定义域为)().,1 ()1 ,(xf对求导数得 ax e x aax xf 2 2 )1( 2 )( （i）当 a=2 时， ),0,()(, )1( 2 )( 2 2 在xfe x x xf x （0，1）和（ 1， +）均大于0， 所以), 1(),1 ,()(在xf为增函数。 实用文
16、档 . （ii）当,20时a)(,0)(xfxf在（， 1） ， （1，+）为增函数。 （iii）当 .1 2 ,02 a a a时 令 a a x a a xxf 2 , 2 ,0)( 21 解得 当 x 变化时，)()(xfxf和的变化情况如下表： x ) 2 ,( a a ) 2 , 2 ( a a a a )1 , 2 ( a a （1，+） )(xf+ + + )(xf ),1 , 2 (), 2 ,()( a a a a xf在（1，+）为增函数， ) 2 , 2 ()( a a a a xf在为减函数。 （）（i）当20a时，由（）知：对任意)1 ,0(x恒有.1)0()(fxf （ii）当2a时，取 )1 ,0( 2 2 1 0 a a x ，则由（）知.1)0()(fxf （iii）当 0a 时，对任意)1 ,0(x，恒有11 1 1ax e x x 且，得 .1 1 1 1 1 )( x x e x x xf ax 综上当且仅当2,
