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1、平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义： 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 逆定理 ：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 . 三角形三条边的垂直平分线相
2、交于一点，该点叫外心 ，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 角 1.同角或等角的余角相等。 2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理 1： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理 2： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心， 它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。 平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。 平
3、行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 平行公理 ：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例。 平面几何知识要点（二） 【三角形 】 面积公式： 1 已知三角形底a，高 h， 1 2 Sah 2 正三角形面积 S= 23 4 a (a为边长正三角形) 3已知三角形三边a,b,c，则()()()Sp papbpc（海伦公式） 其中： () 2 abc p（周长的一半）
4、4已知三角形两边a， b 及这两边夹角C，则 1 sin 2 SabC。 5设三角形三边分别为a、 b、 c，内切圆半径为r ，则 () 2 abc r S 6设三角形三边分别为a、b、 c，外接圆半径为R，则 4 abc S R 记住 ：已知正三角形边长为a，其外接圆半径为 R，内切圆半径为r，则有： 3 3 Ra， 3 6 ra，2Rr 内角和定理：三角形三个内角的和等于180 推论 1 ：直角三角形的两个锐角互余 推论 2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。
5、其中对应边除了三角形 的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。 全等三角形判定定理： 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。（SSS ） 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS ） 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA ） 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 相似三角形性质定理 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相 似比。 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比
6、的平方。 相似三角形判定定理 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA ） 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ） 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ） 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三 角形与原三角形相似。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得
7、的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。 推论 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。（三线合一） 推论 3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
8、（等 角对等边） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 1勾股定理 ：直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方（ 222 abc） 逆命题： 如果三角形的三边长有关系 222 abc，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c 为最长边: 如果： 222 abc，则 ABC是直角三角形； 如果 222 abc，则 ABC是锐角三角形； 如果 222 abc，则 ABC是钝角三角形。 2直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。 逆命
9、题 ：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。 3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半，由 此性质可推出：含30的直角三角形三边之比为1：3：2。 4. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 5. 直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半， 即 2 abc r 也等于 ab r abc 6. 射影定理： 如果 ABC是直角三角形, C=90， CD AB，则 2 .ACAD AB 2 .BCDB AB 2 .CDAD DB 2 2 ACAD BCDB 如果 A
10、BC ， CD AB， 2 .CDAD DB，则 : ADC CDB 对一般三角形的拓展：如图，如果ADC ACB ，则： 2 .ACAD AB 7如果 ADE= B 或 AED= C，或C+ DEB=180 , 或B+CDE=180 AB C D a b c h a b c o r A B C D A B C D E 那么有： AD AC=AE AB 8. 如果 DEBC , 那么有：:AD ACAE ABDE BC 9在 ABC中， AD是 A的平分线，那么： ABBD ACDC 10内、外角角平分线：DO平分 AOB ，EO平分 COB ， 可以推出：DOE=90 , AOD+ COE=
11、90 平面几何知识要点（三） 【四边形及多边形】 面积公式： 平行四边形面积=底高矩形面积 =长宽 菱形面积 =对角线乘积的一半或 菱形面积 =底高 梯形面积 = () 2 上底下底高 =中位线高 对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。 平行四边形： 性质定理 1：平行四边形两组对边分别平行 性质定理 2：平行四边形两组对角分别相等。 性质定理 3：平行四边形两组对边分别相等。 A B CD O B D E AC A B C D E 推论： 夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。 性质定理 4：平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形 判定定理 1：两组对边分别平行的
12、四边形是平行四边形 判定定理 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理 5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形 性质定理 1：矩形对边分别平行且相等； 性质定理 2：矩形的四个角都是直角。 性质定理 3：矩形对角线互相平分且相等 性质定理 4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。 判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理 2：有一个直角的平行四边形； 判定定理 3：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形 性质定理 1：菱形对边平行，四条边都相等。 性质定理
13、 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 性质定理 3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形。 判定定理 2：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 判定定理 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形 性质定理 1：正方形对边平行，四边相等； 性质定理 2：正方形的四个角都是直角； 性质定理 3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 性质定理 3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定定理 1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形； 判定定理 2：一组邻边相等的矩形是正方形； 判定定理 3：一个
14、角为直角的菱形是正方形。 等腰梯形 性质定理 1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等； 性质定理 2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 性质定理 3：等腰梯形的两条对角线相等。 性质定理 4：等腰梯形是轴对称图形。 判定定理 1：腰相等的梯形是等腰梯形； 判定定理 2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。 判定定理 3：对角线相等的梯形是等腰梯形。 如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。 四边形四边中点连成的四边形图形： 1 如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形； 2 如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形； 3 如果原四边
15、形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形； 4 如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四 边形。 5 四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半. 其它定理和公式 1定理： 四边形的内角和等于360，四边形的外角和等于360。 2 多边形内角和定理: n 边形的内角的和等于（n-2 ） 180 推论：任意多边的外角和等于360 3n边形从一个顶点出发的对角线，共有(n3) 条，将n边形分成了 (n2) 个三角形； n边形一共有 n 2 (n3) 条对角线。 4正 n 边形的每个内角都等于： (2)180n n 常用辅助线 平面几何知识要点（四
16、） 【圆、弧、弦 】 圆及圆的相关量的定义 圆的定义 ：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆 心，定长称为半径。 弧、弦的定义： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 大于半圆的弧称为优弧， 小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心 的弦叫做 直径 。 圆、弧的表示方法: 圆- 弧- 弦心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。 圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 连心线定义：过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。 扇形定义 : 在圆上，由2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 三角形的外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角 形的 外心 。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3 个顶点距离相等。 三角形的内切圆：和三角形三边都相
