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1、空间向量教学讲义教学内容【新授课知识讲解】知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2) 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)=a(R)运算律：加法交换律：a b =b a加法结合律:(a b) c = a (b c)数乘分配律： (a b) - -a b3. 共线向量。(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a/b
2、。当我们说向量a、b共线(或ab )时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。(2) 共线向量定理：空间任意两个向量 a、b ( b丰0), a/b存在实数 入使a =出。4. 共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2) 共面向量定理：如果两个向量 a,b不共线，P与向量a,b共面的条件是存在实数/士 m?x, y 使 p =xa +yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z，使P = x： + yb + zC。若三向量a
3、,b,c不共面，我们把a,b,C叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O, A, B,C是不共面的四点，则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数T T T Tx, y, z，使 OP = xOA + yOB + zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz中，对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组 （x, y,z）,使OA =xi +yi +zk，有序实数组（x, y,z）叫作向量 A在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标, 记作A（x, y, z） , x叫横坐标，y叫纵坐标，
4、z叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用i, j, k表小。（3）空间向量的直角坐标运算律：434 4若 a =（%,a2,a3）, b =（灯，炬白3）,则 a + b = （a1 + 灯，：2 +b2,：3 +b3）,a -b = （a -bi,a2 -烷,& -b3）, ，a = （，a,，a? a3）（， R）,T * a b = a1b| a2b2 a3b3,i 4a/ b ：二a1=，b1, a2=，b2,a3= ,耳（R）,T时a_Lbu a1b +a2b +a3t3 =0 o若 A(。贝，Zi) , B(x2, y2,Z2)
5、，则扇=(X2 x，y? y，Z2 z)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标。(4)模长公式：若 a = (a1,a2,a3) , b = (b|,b2,E),则 |a| =4 4g 丈鬲八t1一a baQ a2b2 a3b3(5)夹角公式： costa b.=土 =|a | Ib |, a； a； a bi b； . b32(6)两点间的距离公式：若 A(x1, y1, z1) , B(x2, y2,z2),则 | AB | =、AB =g xj2 (y2 y)2 (Z2 Zi)2 , 或 dA,B = q -x)2 (y2 -yi)2 (Z2
6、 -Zi)27. 空间向量的数量积。(1) 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点 O,作OA = a fB = b,则NAB 叫做向量a与b的夹角，记作 5 , 一4.4.* 44 兀 T . .一 .- . 显然有a,b xb,a；右a,bx ,则称a与b互相垂直，记作：a _L b。2- T-|(2) 向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|咨|。(3) 向量的数量积：已知向量 a,b，则| a |，| b | cos a, b a叫做a,b的数量积，记-卜F日/ 4 J作 a b ,即 a b = |a| |b| cos。才 _Lb
7、 u ? b=0。 |E|2=：命。(5) 空间向量数量积运算律：_ 4+ 4、”八 p.a) b =/(a b)=a，(九b)。 a b = b a (交换律)。 a (b c) = a b a c (分配律)。【典型例题】1.在棱长为1的正方体 ABCDAiBiCiD中，设知 a, A b, AA= c,贝U a - (b+ c)的值 为()A. 1B . 0C. - 1D. - 22. (2012 太原高二期末)设空间有四个互异的点 A B, C, D,已知(DMDC2DA - (AB-AC) = 0,则 ABC()A. 直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3. 已知
8、i、j、k是两两垂直的单位向量，a= 2i -j + k, b= i + j 3k,则a - b等于4. 已知| a| = 2, | b| =寸2,且a与2b a互相垂直，则 a与b的夹角大小为 .5. 已知 | a| = 3寸2, | b| = 4,昨 a+ b, n = a+ 入 b,a,b= 135 , mn,则入=.6. 已知空间向量a, b, c两两夹角都是60 ,其模都是1,则| a- b+ 2c| =.【典型例题】1. 已知 a = (1 , 2, 1) , a + b = ( 1, 2, 1),贝U b 等于()A. (2， 4, 2)B . ( 2, 4, -2)C. ( 2
9、, 0, - 2)D. (2 , 1 , - 3)2. 已知i , j , k是空间直角坐标系 Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且 AB=i +j k,贝U B点的坐标为()A. ( 1, 1, 1)B, ( i , j , k)C. (1， 1, - 1)D.不确定3. 已知空间三个向量a= (1 , 2, z) , b= (x, 2, 4) , c = ( 1, y, 3),若它们分 另U两两垂直，贝U x=, y =, z=.4. 已知 ABC的三个顶点为 A(3 , 3, 2)、B(4 , 3, 7)、C(0 , 5, 1) , M为 BC的中点， 则 | AM =.5.
10、 已知向量a= (4， 2, 4), b= (6 , - 3, 2),则下列结论正确的是 ()A. a+ b= (10 , 5, 6)B. a-b= (2 , - 1, - 6)C. a - b= 10D. | a| = 66. (2012 武汉高二检测)已知向量a= (2 , -3, 5)与向量b= ( 4, x, y)平行，贝U x,y的值分别是()A. 6 和一10B. - 6 和 10C. - 6 和一10D. 6 和 107, 向量 a= (2 , -3,仍)，b= (1 , 0, 0)，则 cosa, b =()A. 01B-28. (2012 -台州高二期末)已知 a= (2,
11、1, 1) , b= ( - 1, 4, 2) , c =(入，5, 1), 若向量a, b, c共面，贝U入=.9, 已知空间四点 A B C、D的坐标分别是(一1, 2, 1) , (1 , 3, 4) , (0 , 1, 4), (2 , -1, - 2)，若 p = AB q=CD求 p+ 2q； (2)3 p q； (3)( p-q) (p+ q).10. 已知 a= (cos a , 1, sin a ) , b= (sina , 1, cos a ），则a+ b与a-b的夹角是（A. 90B.60C. 30D.011, 已知 a= (1 -1, 1-1, t) , b= (2,t
12、 , t）,则|b-a|的最小值是（）AT1155B，5C蔓C，512. 已知点A, B, C的坐标分别为(0 , 1, 0) , ( 一 1, 0, 1), (2 , 1, 1),点P的坐标 为(x, 0, z),若PAAB 鼠AC则点p的坐标为.13. 已知向量 a= (1 , -3, 2) , b= ( 2, 1, 1),以及点 A 3, - 1, 4), B( 2, 2, 2).(1) 求 |2 a+ b| ；(2) 在直线AB上是否存在一点 E,使 * b(O为原点).【题型介绍】这章学习的内容是在平面向量的基础上进一步去学习的，在高考也是重点内容，固定一 道大题，外加不定的选择和填
13、空题，所以学好这章极为重要。【课堂训练】1. 设直线|1的方向向量为a= (2 , 1, 2),直线l 2的方向向量为b= (2 , 2, m,若l 1 l 2,贝U 昨()A. 1B. - 2C. - 3D. 32. 已知线段 AB的两端点的坐标为 A(9, 3, - 4) , B(9 , 2, 1),则线段 AB与哪个坐 标平面平行()A. xOyB. xOzC. yOzD. xOy与 yOz3. 设O为坐标原点，OAF (1 , 1 ,2) ,OS (3 ,2,8),则线段AB的中点P的坐标为 .4. 已知点 M在平面 ABC内，并且对空间任一点Q OR xOAv1OC贝U x的值为33
14、5. 设两条直线所成角为0( 0为锐角)，则直线方向向量的夹角与0 ()A.相等B.互补C.互余D.相等或互补6. 已知A、B、C三点的坐标分别为A(4, 1, 3)、B(2, 5, 1)、C(3,7,入)，若AE成则入等于（）A. 28B. 28C. 14D. 147.l i的方向向量为 vi= （1 , 2, 3） , l 2的方向向量 V2 =（入，4, 6）,若l i / l 2,贝U入等 于（）A. 1B. 2C. 3D. 41，8. 已知两异面直线l 1和12的方向向重分别为 V1和V2，右cosV1, V2= 2，贝U l1与 l 2所成角为 .9. 若AEJ入CU C（入， R）,则直线AB与平面CDEE勺位置 关系是 .10. 已知A（2 , 1, 0）,点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是（3, 1, 2）,求点 B的坐标.11. 已知直线l 1的方向向量a= （2 , 4, x）,直线12的方向向量b= （2 , y, 2）,若| a| =6,且ab,则x
