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1、【精品】 2020年高考数学（理科）复习专题讲座 第 1 课 集合的概念和运算 1集合的含义与表示 a求集合中元素的个数或已知元素个数求参数 (1)(2019 汇编，10 分 )设集合A 1 ， 2， 3， B 4， 5， M| xx ab， aA， bB ， 则 M 中元素的个数为() A3 B4 C5 D6 已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为() (2018 全国 ) A9 B8 C5 D4 答案： BA 解析： aA，bB，当 a 1，b4 或 5 时， x5 或 6；当 a2，b4 或 5 时， x6 或 7；当 a 3，b4 或 5 时，x7 或 8
2、， 结合集合中元素的互异性，可知 M 5 ，6，7， 8故选 B. x2y23 所表示的平面区域如下： 因为 x Z，yZ，结合图形可知，满足条件的点对(x，y)有：(0，0)，(0，1)，(0，1)， (1，0)，(1，0)， (1，1)，(1，1)，(1， 1)，(1， 1)，共 9 个故选A. (2)(经典题， 5 分)若集合 AxR|ax23x20 中只有一个元素，则 a_ 答案： 0 或9 8 解析： 若集合 A 中只有一个元素，则方程ax23x20 只有一个实根或有两个相等实 根当 a0 时， x 2 3，符合题意；当 a0 时， (3)28a0，解得 a 9 8， a 的值为 0
3、 或 9 8. b对用描述法表示集合的理解不透彻导致出错 (3)(经典题， 5 分)下列说法：集合xN|x3x用列举法表示为 1，0，1 ；实数 集可以表示为 x|x 为所有实数 或R ；方程组 x y3， x y 1 的解集为 x1， y2其中正 确说法的个数为() A3 B2 C1 D0 答案： D 解析： 错误：由x3x，得 x(x21)0，解得 x0 或 x1 或 x 1. 1?N，集 合xN|x3x用列举法表示为0 ，1，故不正确 错误：集合表示中的符号“”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“ R” 表示 所有的实数组成的集合，故实数集正确的表示应为x|x 为实数 或 R 或 实数
4、 ，故不正确 错误：方程组 x y3， x y 1 的 解是有序数对， 其解集正确的表示应为(1 ， 2) 或 1 2 x x,y y ，而集合 x1， y2 表示由这两个等式组成的集合，故不正确故选D. 变式思考 ： (经典题， 6 分)已知下面三个集合：x|yx21；y|yx21 ；( x， y)|yx21问：它们是否为同一个集合？并说明理由 答案： 不是同一个集合理由见解答过程 解：它们是互不相同的集合集合 x|yx21的代表元素是x， 它满足条件yx21， x|yx21 R；(2 分) 集合 y|yx21 的代表元素是y，满足条件y x21 的 y 的取值范围是y1， y|yx21 y
5、|y1； (4 分) 集合 ( x， y)|yx21 的代表元素是 (x， y)， 可认为是满足条件yx21 的有序数对 (x， y)，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y x2 1， ( x，y)|yx21 ( x，y)|(x，y)是抛物线yx21 上的点 (6 分) 2集合间的基本关系 a.判断集合间的关系 (4)(2019 改编， 10 分 )已知 E x|x20，Fx|x2(a1)x0 ，则下列关于集合E 和 F 之间的关系，描述正确的是() AEF 或 F? EBE? FCF? EDEF 或 E? F 已知集合M x|xm 1 6，mZ ，N x|x n 2 1
6、3，nZ ，P x|x p 2 1 6，pZ ， 试分析集合M，N，P 之间的关系 答案： DM? NP 解： 易得 Ex|x20 0 下面对方程x2(a1)x0 的根的情况进行讨论：方 程 x2(a1)x 0 的判别式为 (a1)2.当 a1 时， 0，方程有两个相等的实数根， x1x20，此时F0 ， EF.当 a1 时， 0，方程有两个不相等的实数根，x10， x2a10，此时F 0 ，a 1 ， E? F.综上，当a1 时， EF；当a1 时， E? F. 故选 D. 集合 M x|xm1 6，mZ . 关于集合N：当 n 是偶数时，令n2m(mZ)，则 N x|x m 1 3，mZ
7、； 当 n 是奇数时，令 n2m1(mZ)， 则 N x|x 2m1 2 1 3，mZ x|xm 1 6， mZ ， 从而得 M? N.(2 分) 关于集合P：当 p2m(mZ)时， P x|xm 1 6，mZ ； 当 p2m1(mZ)时，P x|x 2m 1 2 1 6，mZ x|xm 1 3，mZ，从而得 N P.综上可知M? N P.(5 分) b根据集合间的关系求参数或其范围 (5)(2019 汇编，10 分)已知集合A0 ， a， B x| 1x2 ， 且 A? B， 则 a 可以是 () A 1 B0 C1 D2 已知集合A| x1ax2 ，B | x| |x1 ，是否存在实数 a
8、，使得A? B.若存在，求出 实数 a的取值范围 答案： Ca|a0，a2 或 a 2 解： 因为集合A 0，a ，Bx|1x2 ，且 A? B，所以 1a2 且 a0，结合选 项知 C 正确，故选C. B x|1x1， 而集合 A 与 a 的取值范围有关， 当 a0 时，A? ， 显然 A? B； (1 分) 当 a0 时， A x|1 ax 2 a ，而 A? B，如图 1， 1 a 1， 2 a1， 解得 a2；(3 分 ) 当 a0 时， A x|2 ax 1 a ，而 A? B，如图 2， 1 a1， 2 a 1， 解得 a 2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为a|a0， a2
9、或 a 2 (5 分) (6)(2019 汇编， 10 分)已知 a， bR，若 a， b a，1 a 2，ab，0，则 a2018b2018 _ 若集合 a，b，c 0，1，2，且下列三个关系：.a2； .b 2； .c0 有且只 有一个是正确的，则100a10bc 等于 _ 答案： 1201 解析： 由已知得a 0，则 b a0， b0，于是 a 21，解得 a1 或 a 1.根据集合 中元素的互异性可知a1 应舍去，因此a 1，故 a2018b2018(1)2018020181. 可分下列三种情形：若只有i 正确，则 a 2，b2，c0，ab1，这与集合中元 素的互异性矛盾，只有i 正确
10、是不可能的；若只有ii 正确，则b2，a2，c0，这与集 合中元素的互异性矛盾，只有 ii 正确是不可能的；若只有iii 正确，则 c 0，a2，b2， b0， c1， 100a10bc10021001201. c确定有限集的子集或真子集的个数问题 (7)(2019 改编， 5 分)已知集合A x|x2 x 0，xN*，B | x x2，xZ，则满足条 件 A? C? B 的集合 C 的个数为 () A5 B6 C 7 D8 答案： C 解析： 易得A x|x 2 x 0，xN * 1 ， 2 ，B x|x2，x Z 0 ， 1，2，3， 4 A? C? B，集合C 的个数为集合 0 ，3，4
11、 的非空子集的个数，即2317(个) 3集合的基本运算 a.交、并、补的综合运算 (8)(2019 汇编， 15 分 )已知集合Ax|x|2 ，B2，0，1，2，则 AB() (2018 北京 ) A0， 1 B1，0，1 C2，0，1，2 D 1， 0，1，2 已知集合PxR|1x3，Q xR|x2 4, 则 P(?RQ) ()(2016 浙江 ) A2，3 B( 2，3 C1，2) D (， 2 1， ) 集合 U1，2，3，4，5，6，A2 ，3 ，B xZ|x26x50 ，则 (?UA)(?UB) () A1， 5，6 B1，4，5，6 C 2，3，4 D1, 6 答案： ABA 解析
12、： 因为 A x|x|2x|2x2，B 2，0，1，2，所以 A B0 ，1 答 案选 A. ?RQx|x24 (2，2)， P(?RQ)( 2，2)1， 3 (2，3故选 B. B xZ|x2 6x 50 xZ|(x 5)(x 1)0 2 ， 3， 4 又 A 2 ， 3 ， AB2，3，4 ， (?UA)(?UB)?U(AB)1， 5，6故选 A. (9)(2018 兰州高三月考，5 分)设全集 UR，A x|x2x 20， B x|yln(1x) ， 则图 17 中阴影部分所表示的集合为() 图 17 Ax|x1 Bx|1x2 Cx|0x1 Dx|x1 答案： B 解析： 由韦恩图知阴影
13、部分表示的是A(?UB) Ax|x2 x20 x|1x2，B x|yln(1x) x|x1， ?UB x|x1 ， A(?UB) x|1x2 阴影部分对应的集合是x|1x 2 故选 B. b根据集合的运算求参数的值或范围 (10)(2019 汇编，10 分)已知集合A x|y4x2， Bx|axa1， 若 ABA， 则实数 a 的取值范围为() A(， 32， ) B1，2 C2，1 D2， ) 设集合A( x，y)|2xy1，x，yR，集合 B ( x，y)|a2x2ya，x， yR ，若 AB? ，则 a 的值为 () A2 B4 C2 或 2 D 2 答案： CD 解 析 ： 根 据 题
14、 意 知4 x20 ， 解 得 2x2 ， 所 以A x|y4x2 x|2x2 又因为AB A，即 B?A，所以 a1 2， a 2， 解得 2a1，故选 C. 由题可知， 集合 A，B 的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点因为 AB ? ， 所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以 4 a20， 2aa2 0， 解得 a 2.故选 D. (11)(经典题， 8 分)已知集合 T 是关于 x 的方程 x2 pxq0(p24q0)的实数根组成的 集合，集合A1，3，5，7，9 ，集合 B1，4，7，10 ，且 AT? ，TBT，试求 实数 p和 q 的值 答案： p 14，q40 解：
15、 p2 4q0，方程 x2px q0 有两个不相等的实数根，即集合T 中含有两 个元素 AT? ， 1，3，5，7，9?T.(3 分) 又 TBT，T? B， T4，10 ， 即 4 和 10 是方程 x2pxq0 的两个实数根 (6 分) 由根与系数的关系，得 410 p， 410q， 解得 p 14， q40， p 的值是 14，q 的值是 40.(8 分) c补集思想在解题中的应用 (12)(2019 改编， 5分 ) 已知集合 A| x x 2ax10，B | xx22xa0 ，C | x x22ax20， 若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数 a的取值范围是 _ 答案： a|a2
16、或 a 1 解析： 假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有 1a240， 244a0， 34a280， 解得 2a2， a 1， 2a2， 解得2a 1， a2或 a 1 时，三个方程至少有一个方程有 实根，即三个集合至少有一个集合不是空集故实数 a 的取值范围为a|a2或 a 1 d集合的新定义问题 (13)(2019 汇编， 10 分)当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构 成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”对 于集合 A 1， 1 2，1 ，B x| ax2 1，a0，若 A 与 B 构成“全食”或构成“偏食”，则 a 的取值集合为 _ 已知集合M xN *|1x 15，集合 A1，A2，A3 满足： .每个集合都恰有5 个元素； .A1A2A3M. 集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i1，2，3)
