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1、第 1 页 共 2 页 【精品试题】2019年全国高考数学 （理科）试题考点分类 考点 45 二项式定理 一、选择题 1.(2019 全国卷理科 T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中 ,x3的系数为() A.12 B.16 C.20 D.24 【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查考生二项式定理、数据的运算求解能力. 【解析】选 A.由题意可知含x3的项为 1 C4 3 1x3+2x2 C4 1 13 x=12x3,所以系数为12. 二、填空题 2.(2019 天津高考理科 T10 )(2?- 1 8? 3) 8 展开式中的常数项为. 【命题意图】 本题考查二项式定理、二项式某项
2、的系数,考查考生应用二项式定理解决与二项式某项有关的问题,考查考生的逻 辑推理能力与运算求解能力. 【解析】 (2? - 1 8? 3) 8 的第r+1 项为 Tr+1= C8 ? (2x)8- r( - 1 8? 3) ? =(-1)rC8 ? 2 8-4rx8-4r, 令 8-4r=0 ,解得r=2 ,即T3=T2+1= (-1 )2C8 2 20 x0=28. 答案 :28 3.(2019 浙江高考 T13 )在二项式 ( 2+x)9的展开式中 ,常数项是,系数为有理数的项的个数是. 【命题意图】本题主要考查二项展开式中的特定项. 【解析】展开式通项是:Tr+1= C9 ? ( 2) 9
3、-rxr,所以常数项是 T1= C9 0 ( 2)9=16 2,若系数为有理数 ,则 9-r为偶数 ,所以r为奇数 ,所以 r可取 1,3,5,7,9. 答案 :16 25 三、解答题 4.(2019 江苏高考 T22 )设(1+x) n= a0+a1x+a2x2+ +anxn,n4,nN*.已知 ?3 2=2 a2a4. (1)求n的值. (2)设(1+ 3)n=a+b 3,其中a,bN*,求a2-3b2的值. 【命题意图】 本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力. 【解题指南】 ( 1) 首先由二项式展开式的通项公式确定a2,a3,a4的值 , 然后求解关
4、于n的方程可得n的值. ( 2) 方法一 :利用 ( 1) 中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值 , 然后计算a2-3b 2 的值即可 ; 方法二 : 利用 ( 1)中求得的n的值 , 由题意得到 (1- 3) 5 的展开式 , 最后结合平方差公式即可确定a2-3b2的值. 【解析】 (1)因为 (1+x)n= C? 0+ C ? 1 x+ C? 2x2+ + C ? ? xn,n4, 第 2 页 共 2 页 所以a2=C? 2=? (? -1) 2 ,a3= C? 3 = ? (? -1)(? -2) 6 , a4= C? 4 = ? (? -1)(? -2)(? - 3) 2
5、4 . 因为 ? 3 2 =2a2a4, 所以 ? (? -1)(? - 2) 6 2 =2 ? (? -1) 2 ? (? - 1)(? -2)(? -3) 24 , 解得n=5. (2)由(1)知,n=5. (1+ 3) n= (1+ 3)5 = C5 0+ C 5 1 3+ C5 2 ( 3) 2+ C 5 3 ( 3) 3+ C 5 4 ( 3)4+ C5 5 ( 3)5 =a+b 3. 方法一 : 因为a,bN *,所以 a= C5 0 +3 C5 2+9 C 5 4=76 ,b= C 5 1+3 C 5 3+9 C 5 5 =44 , 从而a2-3b 2=762-3 442=-32 . 方法二 : (1- 3)5=C5 0+ C 5 1(- 3)+ C 5 2(- 3)2+ C 5 3 (- 3)3+ C5 4 (- 3) 4+ C 5 5 (- 3)5 = C5 0- C 5 1 3+C5 2 ( 3)2-C5 3 ( 3)3+ C5 4 ( 3)4- C5 5 ( 3) 5. 因为a,bN*,所以 (1- 3)5=a-b 3. 因此a2-3b 2= (a+ b 3)( a-b 3)= (1+ 3)5 (1- 3)5=(-2)5=-32.
