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1、2014年天津高考（理） 一、选择题 1i是虚数单位 , 复数 7 34 i i ( ) A. 1 i B. 1 i C. 1731i 2525 D. 1725 i 77 2设变量, x y满足约束条件 0, 20, 1 2 , y xy y x 则目标函数2zxy的最小值为 ( ) A. 2 B.3 C.4 D.5 3阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 输出 S的值为 ( ) A. 15 B.105 C.245 D.945 4函数 2 1 2 ( )log (4)f xx的单调递增区间是( ) A.(0,) B.(,0) C.(2,) D.(, 2) 5 已知双曲线 22 22 1 xy
2、 ab (0,0)ab 的一条渐近线平行于直线 l:210yx , 双曲线的一个焦点在直 线l上, 则双曲线的方程为( ) A. 22 1 520 xy B. 22 1 205 xy C. 22 33 1 25100 xy D. 22 33 1 10025 xy 6如图 ,ABC是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点D , 交 BC 于点 E , 过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点F . 在上述条件下 , 给出下列四个结论 : BD 平分CBF ; 2 FBFDFA; AE CEBE DE ; AF BDAB BF . 则所有正确结论的序 号是 ( ) A. B. C. D. 7
3、设,a bR, 则“ab”是“|a ab b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD, 点,E F分别在边,BC DC上, BE BC , DFDC. 若 1AEAF, 2 3 CE CF, 则( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 5 6 D. 7 12 二、填空题 9 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法, 从该校四个年 级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本 科生人数之比为4:5:5:6, 则应从一
4、年级本科生中抽取_名学生 . 10已知一个几何体的三视图如图所示( 单位 : m ), 则该几何体的体积为_ 3 m. 11设 n a是首项为 1 a, 公差为1的等差数列 , n S为其前 n项和 . 若 124 ,S S S成等比数列 , 则 1 a的值为 _. 12在ABC 中, 内角,A B C所对的边分别是, ,a b c. 已知 1 4 bca ,2sin3sinBC, 则 cosA的值为 _. 13 在以 O 为极点的极坐标系中, 圆4sin和直线sina相交于,A B两点 . 若AOB 是等边三角 形, 则a的值为 _. 14 已知函数 2 ( )|3|f xxx, xR .
5、若方程( )|1|0f xax恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值 范围为 _. 三、解答题 15已知函数 2 3 ( )cossin()3 cos 34 fxxxx , x R . ( ) 求( )f x的最小正周期 ; ( ) 求( )f x在闭区间 , 44 上的最大值和最小值. 16 某大学志愿者协会有6名男同学 , 4 名女同学 . 在这 10名同学中 , 3名同学来自数学学院, 其余 7 名 同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取 3名同学 , 到希望小学 进行支教活动( 每位同学被选到的可能性相同). ( ) 求选出的3名同学是来自互不
6、相同学院的概率; ( ) 设 X 为选出的 3名同学中女同学的人数, 求随机变量X的分布列和数学期望. 17如图 , 在四棱锥 PABCD 中, PA 底面 ABCD ,ADABABDC,2ADDCAP,1AB, 点 E 为棱 PC 的中点 . ( ) 证明 : BEDC ; ( ) 求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; ( ) 若 F 为棱 PC 上一点 ,满足 BFAC , 求二面角FABP 的余弦值 . 18设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F, 右顶点为A, 上顶点为B . 已知 12 3 2 ABF F . ( ) 求椭圆的离心
7、率; ( ) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 1 F, 经过原点 O 的直线l与该圆 相切 .求直线的l斜率 . 19已知 q和 n 均为给定的大于1的自然数 . 设集合0,1,2,1,qM, 集合 1 12 ,1,2,|, n ni x qxMAx xxiqnx. ( ) 当2q,3n时, 用列举法表示集合 A ; ( ) 设, s tA, 1 1 2 n n saa qa q, 1 1 2 n n tbb qb q, 其中, ii a bM,1,2,in. 证明 : 若 nn ab, 则 st . 20设( ) x f xxae (),axRR. 已知函
8、数( )yf x有两个零点 12 ,x x, 且 12 xx. ( ) 求 a 的取值范围 ; ( ) 证明 2 1 x x 随着 a 的减小而增大; （ ）证明 12 xx+随着a的减小而增大. 参考答案 一、选择题 1A 解析 :直接计算 7i(7i)(34i)2525i 1i 34i(34i)(34i)25 . 故选 A. 考点: 复数的四则运算 ; 运算求解能力. 难度 :A 备注 :高频考点 2B 解析 :画出可行域 , 不难发现在点(1,1)A处目标函数2zxy有最小值 min 3z. 故选 B. 考点: 线性规划知识 ; 数形结合思想 ; 运算求解能力. 难度 :A 备注 :易错
9、题 3B 解析 :逐次计算的结果是3,3,2TSi;5,15,3TSi;7,105,4TSi, 此时输出的结果为 105S. 故选 B. 考点: 程序框图 ; 运算求解能力 ; 分析问题、解决问题的能力. 难度 :A 备注 :易错题 4D 解析 :函数( )f x的定义域为(, 2)(2,), 因为函数( )f x是由 1 2 logyt与 2 ( )4tg xx复合而 成, 而 1 2 logyt在(0,)上单调递减 ,( )g x在(, 2)上单调递减 , 所以函数( )f x在(, 2)上单调递 增. 故选 D. 考点: 函数的定义域 ; 复合函数的单调性 ; 运算求解能力 ; 转化与化
10、归的数学思想. 难度 :A 备注 :易错题 5A 解析 :双曲线的其中一条渐近线 b yx a 与直线210yx平行 , 所以2 b a 且左焦点为( 5,0), 所以 222 25abc, 解得 2 5a, 2 20b, 故双曲线方程为 22 1 520 xy . 故选 A. 考点: 双曲线的概念及其几何性质; 直线的斜率 ; 运算求解能力 ; 转化与化归的数学思想; 数形结合思想. 难度 :A 备注 :高频考点 6D 解析 :因为BADFBDBD,DBCDACCD, 又 AE 平分BAC , 所以BADDAC , 所以 FBDDBC , 所以 BD 平分CBF , 结论正确 ; 易证ABF
11、 BDF , 所以 ABBD AFBF , 所以 AB BFAF BD , 结论正确 ; 由 AFBF BFDF 得 2 BFAF DF, 结论正确 . 故选D. 考点: 圆的性质 ; 相似三角形 ; 逻辑推理能力. 难度 :B 备注 :易错题 7C 解析 :构造函数( )|f xx x, 则( )f x在定义域 R 上为奇函数 , 因为 2 2 ,0, ( ) ,0, xx f x xx 所以函数( )f x在 R 上单调递增 , 所以ab( )( )|f af baab b. 故选 C. 考点: 函数的单调性定义 ; 充要条件的判断 ; 推理论证能力 ; 转化与化归的数学思想. 难度 :B
12、 备注 :易错题 8C 解析 :记 CEm , CF n , 则 2 () ()AE AFACCEACCFACCACECACFCE CF 222 42cos602cos6044(22 )(22 )1 333 mnmn,所以 5 6 . 故选 C. 考点: 平面向量的运算 ; 向量的模、数量积的概念; 向量运算的几何意义 ; 推理论证能力; 转化与化归的数学思想. 难度 :B 备注 :易错题 9 60 解析 :设应从一年级本科生中抽取x 名, 则 4 3004556 x , 解得60 x. 考点: 分层抽样 ; 运算求解能力. 难度 :A 备注 :高频考点 10 20 3 解析 :该几何体是一个
13、组合体, 上半部分是一个圆锥, 下半部分是一个圆柱. 因为 21 = 3 Vr h 圆锥 218 22 33 , 22 =144VR H 圆柱 , 故该组合体体积 8 4 3 V 20 3 . 考点: 识别三视图所表示的空间几何体; 空间几何体体积计算 ; 空间想象能力 ; 运算求解能力. 难度 :A 备注 :高频考点 二、填空题 11 1 2 解析 :由已知得 2 142 =SSS, 即 2 111 (46)=(21)aaa, 解得 1 1 2 a. 考点: 等差数列的前n 项和公式 ; 等比数列的概念、等比中项; 运算求解能力. 难度 :A 备注 :高频考点 12 1 4 解析 :由已知得
14、23bc, 因为 1 4 bca . 不妨设3,2bc, 所以4a, 所以 cosA 222 1 24 bca bc . 考点: 正弦定理 ; 余弦定理 ; 运算求解能力. 难度 :B 备注 :高频考点 13 3 解析 :由于圆方程和直线方程的普通方程为 22 4xyy 和 y a , 它们相交于,A B两点 , 因为AOB 为等边三角形,所以直线 OB 方程为 3yx, 联立 22 4 3 xyy yx 消去 y 得 2 3xx,解得3x 或0 x ( 舍去 ), 所以3y, 即3a. 123-1-2-3 1 2 3 4 x y O A B 考点: 极坐标方程与直角坐标方程的互化; 直线与圆
15、的位置关系 ; 运算求解能力. 难度 :A 备注 :易错题 14(0,1)(9,) 解析 :画出函数 2 ( )|3 |f xxx的大致图象 , 12345-1-2-3-4-5 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x y O 令( )|1|g xax, 则函数( )f x的图象与函数( )g x的图象有且仅有4 个不同的交点, 如图 , 显然 0a(0a不可能 ). 联立 2 3 (1) yxx yax 消去 y 得 2 (3)0 xa xa, 由0解得1a或9a( 舍去 ); 联立 2 3 (1) yxx ya x 消去 y 得 2 (3)0 xa xa, 由0解得9a或1a( 舍去 ). 结合图象 , 实数 a 的取值范围为(0,1)(9,). 考点: 函数的零点 ; 函数的综合性质 ; 直线与抛物线的位置关系; 转化与化归、数形结合、分 类讨论 ; 运算求解能力. 难度 :C 备注 :易错题 15( );( ) 1 4 , 1 2 . 解析 : ( ) 由已知 , 有 2133 ( )cos(sincos )3cos 224 f xxxxx 2133 sincoscos 224 xxx 133 sin2(1 cos2 ) 444 xx 13 sin2cos2 44 xx 1 sin(2) 23 x 所以(
