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1、数学（理科）试题第1 页（共 4 页） 绵阳市高中2011 级（ 2014 届）第二次诊断性考试 数 学（理科） 2014.1.16 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页满分150 分考试时间120 分钟 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名考号用0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 2选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5 毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸试题卷 上答题无效 3考试结束后，将答题卡收
2、回 第卷（选择题，共 50 分） 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合A= x|x+20 ，集合 B= - 3，- 2， 0，2 ，那么 (RA) B= AB - 3，- 2 C- 3 D - 2，0，2 2设 i 是虚数单位，复数 10 3i 的虚部为 A- i B - 1 Ci D 1 3执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是 A3 B 1 4 C4 D 2 4已知 l，m，n 是三条不同的直线， ，是不同的平面，则 的一个充分条件是 Al ，m ，且 lmB l ，m ，n ，且 lm，ln
3、 Cm ，n ，m/n，且 l mD l ，l/m，且 m 5一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆 开始 输入x 输出 y 结束 y=log2xy=x- 1 x1？ 是 否 数学（理科）试题第2 页（共 4 页） 内切于边长为2 的正方形，则该机器零件的体积为 A8+ 3 B 8+ 2 3 C8+ 8 3 D 8+ 16 3 6圆 C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线 1 3 2 2 y x的渐近线截得的弦长为3，则圆 C 的方程为 Ax 2+(y- 1)2=1 B x 2+(y- 3) 2=3 Cx 2 +(y- 3 2 ) 2=3 4 D x 2+(y- 2)
4、2=4 7已知O 是坐标原点，点( 1 1)A，若点()M xy，为平面区域 220 240 330 xy xy xy ， ，上的一个 动点，则 |AM|的最小值是 A 3 5 5 B2C5D13 8某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8 名学生中选派4 名学生参加，要求甲、乙两 名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不 同的演讲顺序的种数为 A1860 B1320 C1140 D1020 9已知 O 是锐角 ABC 的外心，若OC=xOAyOB(x，yR)，则 Ax+y- 2 B-2x+y- 1 Cx+y- 1 D- 1x+y0 10设 a，b，xN* ，a
5、b，已知关于x 的不等式lgb- lgalg x0，使得 0 ()f xx0+1 成立？ 如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由 调查人群 态度 E D C B A F 数学（理科）试题第5 页（共 4 页） 绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试 数学( 理)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分 BDCDA AACCB 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分 113121 13 4 14 5 7 15 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16解： （） f(x)=a?b
6、=2sin 2x+2sinxcosx = 2 2cos1 2 x +sin2x =2sin(2x- 4 )+1，,3 分 由- 2 +2k 2x- 4 2 +2k ，kZ，得 - 8 +k x 8 3 +k ，kZ， f(x)的递增区间是 - 8 +k ， 8 3 + k ( kZ) ,6 分 （II ）由题意g(x)=2sin2( x+ 6 )- 4 +1=2sin(2x+ 12 )+1， ,9 分 由 12 x 12 7 得 4 2x+ 12 4 5 ， 0 g(x)2+1，即g(x)的最大值为2+1，g(x)的最小值为0,12 分 17解： （I）设等比数列 an的公比为q，由题知a1=
7、 1 2 ， 又S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列， 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3， 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3- S2+a3，即得 3a2=a1+2a3， 3 2 q= 1 2 +q 2，解得 q=1 或 q=1 2 ，,4 分 又由 an为递减数列，于是 q= 1 2 ， an=a1 1n q =( 1 2 ) n ,6 分 （）由于bn=anlog2an=- n? ( 1 2 ) n， 211111 1+2+1 2222 nn n Tnn（）（）（）， 数学（理科）试题第6 页（共 4 页） 于是 211111 1+1 2222 nn n Tnn（）（）
8、（）， 两式相减得： 2111111 () +() 22222 nn n Tn+() 1 11 1( ) 1 22 = 1 2 1 2 n n n ( )， 1 2( )2 2 n n Tn 21 () 22 nn T n 1 16 ，解得 n4， n的最大值为4,12 分 18解： （I）抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， 3600 120 x =0.05，解得 x=60,2 分 持“无所谓”态度的人数共有3600- 2100- 120- 600- 60=720 ,4 分 应在“无所谓”态度抽取720 360 3600 =72 人,6 分 （）由（ I）知持“应该保留”态度的一共有
9、180 人， 在所抽取的6 人中，在校学生为6 180 120 =4 人，社会人士为6 180 60 =2 人， 于是第一组在校学生人数 =1，2，3，,8 分 P( =1)= 12 42 3 6 1 5 C C C ，P( =2)= 21 42 3 6 3 5 C C C ，P( =3)= 30 42 3 6 1 5 C C C ， 即 的分布列为： 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 ,10 分 E =1 1 5 +2 3 5 +3 1 5 =2,12 分 19 （ I）证明： 如图，作FGEA，AGEF， 连结 EG 交 AF 于 H，连结 BH，BG， EFCD 且 EF=CD，
10、AGCD， 即点 G 在平面 ABCD 内 由 AE平面 ABCD 知 AEAG， E D C B A F H H G x z y 数学（理科）试题第7 页（共 4 页） 四边形 AEFG 为正方形， CDAG 为平行四边形，,2 分 H 为 EG 的中点， B 为 CG 中点， BHCE， CE面 ABF,4 分 （） 证明： 在平行四边形CDAG 中， ADC=90o， BGAG 又由 AE平面 ABCD 知 AEBG， BG面 AEFG， BGAF,6 分 又AFEG， AF平面 BGE， AFBE,8 分 （） 解： 如图，以A 为原点， AG 为 x 轴， AE 为 y 轴， AD
11、为 z 轴建立空间直角坐 标系 A-xyz 则 A(0，0，0)，G(1，0， 0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设 M(1， y0， 0)， (021)ED， ， 0 (12)DMy，0 ， 设面 EMD 的一个法向量()xyz， ，n， 则 0 20 (2)0 EDyz DMxyy ， ， n n 令 y=1，得 0 22zxy， 0 (21 2)ny ， ,10 分 又AEAMD面， (0 0 1)AE， ，为面 AMD 的法向量， 2 0 |2|3 coscos 62 1(2)14 |AE y ， 解得 0 3 2 3 y， 故在 BC 上存在点M，且 |CM|=| 3 2(2
12、) 3 |= 3 3 ,12 分 20解： （I）设椭圆的标准方程为1 2 2 2 2 b x a y (ab0)，焦距为2c， 则由题意得c=3， 2233 2(13)(13)4 44 a， a=2， 222 bac=1， 数学（理科）试题第8 页（共 4 页） 椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 y x,4分 右顶点 F 的坐标为 (1，0) 设抛物线E 的标准方程为 2 2(0)ypx p ， 1 24 2 p p， 抛物线 E 的标准方程为 2 4yx ,6 分 （）设l1的方程：(1)yk x，l2的方程 1 (1)yx k ， 11 ()A xy， 22 ()B xy， 33
13、()G xy， 44 ()H xy， 由 2 (1) 4 yk x yx ， ， 消去 y 得： 2222 (24)0k xkxk， x1+x2=2+ 2 4 k ，x1x2=1 由 2 1 (1) 4 yx k yx ， ， 消去 y 得： x 2- (4k2+2)x+1=0， x3+x4=4k2+2， x3x4=1， , 9 分 () ()AG HBAFFGHFFB =FBFGHFFGFBAFHFAF =|AF| |FB|+|FG| |HF| =|x1+1| |x2+1|+|x3+1| |x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+ 2 2 4 4 k
14、k 8+ 2 2 4 4 2k k =16 当且仅当 2 2 4 4 k k 即 k= 1 时，HBAG有最小值16 ,13 分 21解： （I） 0)x， 时， 2 ( )(1) 2 xa f xex ， 2 ( )(1) 2 x a fxexax 由题意，)(xf 0 在0)，上恒成立， 数学（理科）试题第9 页（共 4 页） 当 a=0 时，( ) x fxe0 恒成立，即满足条件 当 a0 时，要使)(xf0，而 e x0 恒成立， 故只需 2 1 2 a xax0在0)，上恒成立，即 ， ， 0100 2 0 2 2 a a a 解得 ax0+1 成立，即 1 2 0 2 0 00
15、xex a e xx ， 数学（理科）试题第10 页（共 4 页） 变形为 0 2 00 1 10 2 x axx e ， 要找一个x00 使式成立，只需找到函数 2 1 ( )1 2 x axx t x e 的最小值，满足 min ( )0t x即可 1 ( )() x t xx a e ， 令( )0t x得 1 x e a ，则 x=- lna，取 x0=- lna， 在 0 x - lna 时，( )0t x， 即 t(x)在(0，- lna)上是减函数，在(- lna，+)上是增函数， 当 x=- lna 时，( )t x取得最小值 2 0 ()(ln)(ln1)1 2 a t xaaa 下面只需证明： 2 (ln)ln10 2 a aaaa在01a时成立即可 又令 2 ( )(ln)ln1 2 a p aaaaa，
