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1、2013 朝阳高三数学一模理科第 1 页 共 9 页 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类）2013.4 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题： 本大题共8 小题， 每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1、i为虚数单位，复数 1 1 i 的虚部是 A 1 2 B 1 2 C 1 i 2 D . 1 i 2 2、已知集合23Mxx，lg(2)0Nxx，则MN A. ( 2,) B. ( 2,3) C. ( 2, 1 D. 1,3) 3、已知向量3, 4 ,6, 3OAOB，2 ,1OCm m. 若/ /ABOC，则实数m的值为
2、 A3 B 1 7 C 3 5 D 3 5 4、在极坐标系中，直线 1 cos 2 与曲线2cos相交于,A B两点 , O为极点，则AOB的 大小为 A 3 B 2 C 3 D 6 5、在下列命题中， “ 2 ”是“sin1”的充要条件； 3 41 () 2 x x 的展开式中的常数项为2； 设随机变量(0,1)N, 若 (1)Pp，则 1 ( 10) 2 Pp 其中所有正确命题的序号是 A B C D 6、某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. 4 B. 4 2 C. 6 2 D. 8 7、抛物线 2 2ypx（p0）的焦点为F，已知点A，B为
3、抛物线上的两个动点，且满足120AFB. 过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 | | MN AB 的最大值为 A. 3 3 B. 1 C. 2 3 3 D. 2 22 2 2 正视图侧视图 俯视图 2013 朝阳高三数学一模理科第 2 页 共 9 页 8、 已知函数 * ( )21,f xxxN. 若 * 0, x nN， 使 000 ( )(1 )() 6 3f xf xf xn成立，则称 0 (, )x n 为函数 ( )f x 的一个“生成点”. 函数 ( )f x 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2个 C .3个 D .4个 第二部分（非选择题共 110 分）
4、二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9、在等比数列 n a中， 324 20aa a，则 3 a， n b为等差数列，且 33 ba，则 数列 n b的前 5 项和等于 . 10、在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边 . 已知角A为锐角，且3 sinbaB, 则tanA . 11、执行如图所示的程序框图，输出的结果S= . 12、如图，圆O是ABC的外接圆，过点C作圆O的切 线交BA的延长线于点D. 若3CD， 2ABAC， 则线段AD的长是； 圆O的 半径是 . 13、函数)(xf是定义在R上的偶函数，且满足 (2)( )f xf x
5、. 当0,1x时，( )2f xx. 若在区间 2,3上方程2( )0axaf x恰有 四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 14、 在平面直角坐标系xOy中， 已知点A是半圆 22 40 xxy（2x4） 上的一个动点， 点C在线段OA 的延长线上当20OA OC时，则点C的纵坐标的取值范围是 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15、 （本小题满分13 分） 已知函数 231 ( )sinsin 222 x f xx（0）的最小正周期为. （）求的值及函数( )f x的单调递增区间； （）当0, 2 x时，求函数( )f x的取值范
6、围 . 16、 （本小题满分13 分） D B C O A 开始 i=0 S=0 S=S+2i-1 i6 输出 S 结束 是 i=i+2 否 2013 朝阳高三数学一模理科第 3 页 共 9 页 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01 ， ,2称“从盒中随机抽取一张，记下 卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率； （）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率； （）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量X=的分布列与数学期望EX 17、 （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥PAB
7、CD中，平面PAC平面ABCD，且P AA C，2PAAD 四边形ABCD 满足BCAD，ABAD，1ABBC点,E F分别为侧棱,PB PC上的点，且 PEPF PBPC （）求证：EF平面PAD； （）当 1 2 时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值； （）是否存在实数，使得平面AFD平面PCD？若存在， 试求出的值；若不存在，请说明理由 18、 （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( )(2)ln22f xxaxaxa，其中2a （）求函数( )f x的单调区间； （）若函数( )f x在0,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围 . 19、 （本小题满分14 分） 已知中心在原点
8、，焦点在x轴上的椭圆C过点 3 (1 ,) 2 , 离心率为 3 2 ，点A为其右顶点 . 过点(10)B ，作直 线l与椭圆C相交于,E F两点，直线AE，AF与直线3x分别交于点M，N. （）求椭圆C的方程； （）求EM FN的取值范围 . 20、 （本小题满分13 分） 设 1210 ( ,)x xx是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义 10 1 1 ( )|23| kk k Sxx ，其中 111 xx. （）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 )，求( )S的值； （）求( )S的最大值； （）求使( )S达到最大值的所有排列的个数 . P D
9、 A B C F E 2013 朝阳高三数学一模理科第 4 页 共 9 页 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（理工类） 2013.4 一、选择题： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A D A C C D A B 二、填空题： 题号9 10 11 12 13 14 答案2，10 2 4 201,2 2 2 (, ) 5 3 5,5 （注：两空的填空，第一空3 分，第二空2 分） 三、解答题： 15、 （本小题满分13 分） 解： （） 31 cos1 ( )sin 222 x f xx 31 sincos 22 xx sin() 6 x. ,4 分 因为( )f x最
10、小正周期为，所以2. ,6 分 所以( )sin(2) 6 f xx. 由222 262 kxk，kZ，得 36 kxk. 所以函数( )f x的单调递增区间为, 36 kk ，kZ. ,8 分 （）因为0, 2 x，所以 7 2, 666 x，,10 分 所以 1 sin(2)1 26 x. ,12 分 所以函数( )f x在0, 2 上的取值范围是 1 ,1 2 . ,13 分 16、 （本小题满分13 分） 解： （）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21 ( ) 42 P A 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 1 2 ,3 分 （）设事件B：在四次试验中，至
11、少有两次卡片上的数字都为正数 由（）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 1 2 所以 00413 44 111111 ( )1 ( )( )( ) 222216 P BCC 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 11 16 ,7 分 （）由题意可知，的可能取值为1,01 ， ,2，所以随机变量X的可能取值为2, 101,， ， ,2 4 2013 朝阳高三数学一模理科第 5 页 共 9 页 21 (2) 4 48 P X=； 21 (1) 4 48 P X=； 77 (0) 4 416 P X= ； 21 (=1) 4 48 P X ； 21 (=2) 4 48
12、P X ； 11 (=4) 4 416 P X 所以随机变量X的分布列为 X21 0 1 24 P 1 8 1 8 7 16 1 8 1 8 1 16 所以 1171111 ()2101 881688164 E X =24 ,13 分 17、 （本小题满分14 分） 证明：（）由已知， PEPF PBPC ，所以EFBC 因为BCAD，所以EFAD而EF平面PAD，AD平面PAD， 所以EF平面PAD,4 分 （）因为平面ABCD平面PAC， 平面ABCD平面PACAC，且PAAC，所以PA平面ABCD. 所以PAAB，PAAD又因为ABAD， 所以,PA AB AD两两垂直,5 分 如图所示
13、，建立空间直角坐标系， 因为1ABBC，2PAAD， 所以0,0,01,0,0 ,AB, 1,1,0 ,0,2,0 ,0,0,2CDP 当 1 2 时，F为PC中点， 所以 1 1 ( ,1) 2 2 F , 所以 1 1 (,1),( 1,1,0) 2 2 BFCD 设异面直线BF与CD所成的角为， P D A B C F E x y z 2013 朝阳高三数学一模理科第 6 页 共 9 页 所以 1 1 |(,1) ( 1,1 ,0) | 3 2 2 cos|cos,| 311 12 44 BF CD ， 所以异面直线 BF与CD所成角的余弦值为 3 3 ,9 分 （）设 000 (,)F
14、 x y z，则 000 (,2),(1 ,1, 2)PFxy zPC 由已知PFPC，所以 000 (,2)(1 ,1, 2)xy z， 所以 0 0 0 , , 22 . x y z 所以( , ,22 )AF 设平面AFD的一个法向量为 1111 ( ,)x y zn，因为0,2,0AD , 所以 1 1 0, 0. AF AD n n 即 111 1 (22 )0, 20. xyz y 令 1 z，得 1 (22,0, )n 设平面PCD的一个法向量为 2222 (,)x yzn，因为0,2, 2 ,1,1 ,0PDCD , 所以 2 2 0, 0. PD CD n n 即 22 22
15、 220, 0. yz xy 令 2 1x，则 2 (1 ,1,1)n 若平面AFD平面PCD，则 12 0nn，所以(22)0，解得 2 3 所以当 2 3 时，平面AFD平面PCD ,14 分 18、 （本小题满分1 3 分） 解：函数定义域为0 x x， 且 (2)(1) ( )2(2). axa x fxxa xx ,2 分 当0a，即0 2 a 时，令 ( )0fx ，得01x，函数 ( )f x 的单调递减区间为 (0,1)， 令( )0fx，得1x，函数( )f x的单调递增区间为(1 ,). 当01 2 a ，即02a时，令 ( )0fx ，得0 2 a x或1x， 函数( )f x的单调递增区间为(0, ) 2 a ，(1 ,). 令( )0fx，得1 2 a x，函数( )f x的单调递减区间为( ,1) 2 a . 2013 朝阳高三数学一模理科第 7 页 共
